Darstellungsmatrix

04.08.2016, 15:41

Desogude

Darstellungsmatrix

Hallo,

ich habe zwei Aufgabe bzgl Basiswechsel und Darstellungsmatrix die ich nicht ganz verstehe:

1) Es sei die lineare Abb. A gegeben durch

$\begin{eqnarray*} A\left(b_1\right) = b_1 + 2b_3 , A\left(b_2\right) = 2b_1 + b_2 - b_3 , A\left(b_3\right) = b_2 + b_3 \end{eqnarray*}$

Berechne $\begin{eqnarray*} A_{B}^{B} \end{eqnarray*}$ und die Matrix A

Die $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ sind gegeben

2) Es sei die Matrix A gegeben mit $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 5 & 8 \\ -4 & -7 \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es soll die Basis B bestimmt werden, sodass $\begin{eqnarray*} A_{B}^{B} = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & 1 \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zur 1.)

Also meine Abbildungsmatrix bildet die jeweiligen Basisvektoren auf etwas ab , dass sich als Linearkombination der ursprünglichen Basisvektoren darstellen lässt. Aber irgendwie komm ich gedanklich nicht weiter, wie das zusammenhängt.

Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben?

Danke

04.08.2016, 15:45

klarsoweit

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RE: Darstellungsmatrix
Also die Abbildungsmatrix $\begin{eqnarray*} A_{B}^{B} \end{eqnarray*}$ purzelt ja gerade nur so aus der Aufgabe heraus. Du mußt doch nur die Koordinatenvektoren der Bilder bezüglich der Basis B als Spalten in die Matrix eintragen. Es fragt sich nur noch, was unter "Matrix A" verstanden wird.

04.08.2016, 16:03

Desogude

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$\begin{eqnarray*} A_B^{B} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0& 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so richtig ?

aber ich versteh geistig den Zusammenhang irgendwie noch nicht ganz.

Um A auszurechnen würde ich von links mit der Basis B multiplizieren und schließend von rechts mit $\begin{eqnarray*} B^{-1} \end{eqnarray*}$

quasi $\begin{eqnarray*} A_B^{B} = B^{-1} A B \end{eqnarray*}$ und daraus dann $\begin{eqnarray*} B B^{-1} A B B^{-1} = A \end{eqnarray*}$

04.08.2016, 18:54

Desogude

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keiner einen Tipp ?

04.08.2016, 21:11

Euklid93

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Hallo Desogude,

deine Abbildungsmatrix stimmt. Was genau jetzt noch mit A gemeint ist, weiß ich nicht. Du kannst die lineare Abbildung ja nur für eine Basis angeben, und das hast du ja durch deine Abbildungsmatrix gerade getan.

Zum zweiten sage ich nur (mal wieder): Da steht eine Diagonamlatrix. Deine Basiswechselmatrix sollte also so etwas wie Eigenvektoren enthalten.

Euklid93

05.08.2016, 08:28

klarsoweit

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Zitat:

Original von Euklid93
Was genau jetzt noch mit A gemeint ist, weiß ich nicht.

In meinem Beitrag hatte ich mich schon dazu geäußert, aber leider ist Desogude auf die Frage nicht eingegangen. Vielleicht ist A die Abbildungsmatrix bezüglich der kanonischen Basis.
@Desogude: bitte poste mal den kompletten Aufgabentext.

05.08.2016, 09:29

Euklid93

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Euklid93
Was genau jetzt noch mit A gemeint ist, weiß ich nicht.

Wird aber auch schwierig, wenn man die Basis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ nicht explizit kennt.

05.08.2016, 09:59

klarsoweit

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RE: Darstellungsmatrix
Immerhin gibt es diese kleine Anmerkung:

Zitat:

Original von Desogude
Die $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ sind gegeben

05.08.2016, 11:04

Euklid93

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RE: Darstellungsmatrix

Zitat:

Original von klarsoweit
Immerhin gibt es diese kleine Anmerkung:

Zitat:

Original von Desogude
Die $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ sind gegeben

stimmt

05.08.2016, 14:22

Desogude

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ich habe deine Frage nicht als Frage sondern eher als Hinweis an mich aufgefasst, herauszufinden was denn mit A gemeint ist.

Hier ist die vollständige Aufgabe:

[attach]42448[/attach]

05.08.2016, 14:58

klarsoweit

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OK. Entweder gibt es eine Vereinbarung, daß mit der Matrix A die Abbildungsmatrix bezüglich der Standardbasis gemeint ist (weil keine Basis explizit angegeben ist), oder die Aufgabe ist unklar formuliert.

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