Drehspiegelung

04.08.2016, 20:49	Desogude	Auf diesen Beitrag antworten »
Drehspiegelung Es sei eine Matrix A gegeben $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt[2]{2}+2}{4} & \frac{\sqrt[2]{2}-2}{4} & \frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt[2]{2}-2}{4} & \frac{\sqrt[2]{2}+2}{4} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt[2]{2}}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 1.) Ich soll nun beweisen, dass diese orthogonal ist. Das bekomme ich hin. Aber anschließend soll ich zeigen, dass die Matrix A eine Drehspiegelung ist. Also ich kenne die Kriterien sowohl für eine Drehung als auch für eine Spieglelung und ich weiß, dass das Produkt einer orthogonalen Matrix wieder orthogonal ist. Soll ich nun versuchen die Matrix A als produkt einer Spiegelung und Drehung darzustellen und es so beweisen ? 2.) Zum Schluss muss ich noch eine Orthonormalbasis B finden, sodass $\begin{eqnarray} A_B^{B} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Danke für die Hilfe.
04.08.2016, 21:08	Euklid93	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Drehspiegelung Hallo Desogude, Überlege dir, welche Typen von orthogonale Matrizen es gibt und wodurch sie sich unterscheiden. Dann ist es ganz einfach zu zeigen, dass die Matrix eine Drehspiegelung ist. Für den Basiswechsel: Da sage ich erstmal nur, dass da eine Diagonalmatrix steht. Euklid93
04.08.2016, 21:21	Desogude	Auf diesen Beitrag antworten »
Also es gibt orthogonale Matrizen mit det(A) = -1 bei Spiegelung und +1 bei Drehung ich versteh nicht wie ich das verbinden kann. die Matrix $\begin{eqnarray} A_B^{B} \end{eqnarray}$ ist eine Spiegelung? Invertiert also die x-koordinate? Ich versteh nicht recht was diese Matrix macht ? Sie ist die Abbildungsmatrix bzgl der Basis B , richtig ?
04.08.2016, 21:29	Desogude	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay ich bin soweit gekommen, dass ich $\begin{eqnarray} A_B^{B} \end{eqnarray}$ bekomme in dem ich A diagonalisiere. Aber was ist nun mit der Drehspiegelung ?
04.08.2016, 22:47	Euklid93	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, Determinante -1 ist schon mal gut. Eine Spiegelung muss nicht zwingend die X-Achse invertieren - es kann eine beliebige Achse sein, die man nicht sofort ablesen kann. Was kannst du denn über Fixpunkte von Spiegelungen bzw. Drehspiegelungen sagen?
05.08.2016, 01:28	Desogude	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay also ich kann einen Fixpunkt berechnen, der auf sich selbst abgebildet wird. Ich versteh den Zusammenhang immer noch nicht...
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05.08.2016, 09:35	Euklid93	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Spiegelung hat ganz viele Fixpunkte, nämlich eine ganze Ebene. Eine Drehung lässt eine Gerade fix. Und kombiniert man das, gibt es nur noch einen einzigen Fixpunkt. Schau also mal, wie viele Fixpunkte du finden kannst.
06.08.2016, 15:29	Desogude	Auf diesen Beitrag antworten »
Also reicht als Beweis für die Drehspiegelung, dass ich nur einen Fixpunkt erhalte?
08.08.2016, 11:31	Euklid93	Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammen mit der negativen Determinante reicht das in der Tat. Euklid93

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