Funktionsgleichung gesucht

05.08.2016, 21:11	Timeout	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionsgleichung gesucht Meine Frage: Für eine Punkteverteilung in einem Wettbewerb sollen bei einer Variablen Anzahl an Teilnehmern und einer variablen Anzahl der zu vergebenden Punkte ein Aufteilungsschlüssel laut der Grafik erstellt werden, wobei der Letztplatzierte immer 1 Punkt und der Sieger immer 20% der zu vergebenden Punkteanzahl erhalten soll. Beispiel: 100 Teilnehmer - 5000 Punkte zu vergeben. 1. Platz = 20% = 1000 Punkte .. .. 100. Platz: 1 Punkt Meine Ideen: Ich dachte an f(x)=1/x, jedoch ist mir dies zu symetrisch. Ein coth würde auch passen. Mir wäre wichtig, dass der Abfall zu Beginn steiler ist, um den besten des Wettbewerbes einen Vorteil zu geben und das Auslaufen auf der x-Achse sich langsam dem Wert 1 nähert und ihn dann bei max-Platz erreicht.
06.08.2016, 17:17	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Graph entspricht am ehesten einer Exponentialfunktion der begrenzten Abnahme. $\begin{eqnarray} f(t) = S + a\cdot e^{-kt} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} f(t) = S + a \cdot b^t \ \ [b = e^{-k} \ , \ 0 < b < 1] \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ die untere Grenze ist. Sh. z.B. --> Begrenztes Wachstum - Pilzaufgabe Mit deinen Werten etwa Der Sättigungswert unten muss etwas unter 1 liegen (0,8), ansonsten wird bei 100 nicht 1 erreicht. Die Wertetabelle für diese Funktion sieht dann so aus: [attach]42456[/attach] Du musst natürlich jetzt noch die Parameter der Funktion verfeinern, indem du mit mehreren deiner bekannten Wertepaare eine Regressionsanalyse durchführst. (a, k bzw. a, b mittels der Methode der kleinesten Fehlerquadrate) mY+
06.08.2016, 17:46	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit dieser Funktion $\begin{eqnarray} f(t) \end{eqnarray}$ ergibt sich allerdings eine Gesamtpunktzahl $\begin{eqnarray} N=\sum_{i=1}^{100} f(i) \approx 12070 \end{eqnarray}$ und nicht das vorgegebene $\begin{eqnarray} N=5000 \end{eqnarray}$ . Die Forderung $\begin{eqnarray} f(1)=0.2N \end{eqnarray}$ erscheint mir problematisch.
06.08.2016, 17:53	Timeout	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke mythos, Ein Problem habe ich dennoch, darauf wurde ich hingewiesen: Bei Extremwerten der Teilnehmeranzahl funktioniert die ganze Grundlage nicht. Beispiel: 2 Teilnehmer. Der erste bekommt 20%, der zweite dann 1 oder doch 80%? Das funktioniert nicht. Und wenn die Teilnehmerzahl zB 100k ist, dann bekommt der erste eben seine 20% und die restlichen 80% werden dann auf 99.999 Teilnehmer aufgeteilt... bleibt für jeden zu wenig. d.h. entweder man macht die zu vergebende Punktezahl von der Teilnehmerzahl abhängig und/oder verwendet zusätzlich eine Referenzfunktion um die Verteilung auf die Teilnehmer auf die Anzahl selbiger abzustimmen. Beispielsweise: bei 2 Teilnehmern, 80:20, bei 3 -> 60:30:10, usw....
06.08.2016, 18:22	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Selbstverständlich muss die Funktion an die entsprechenden Szenarien angepasst werden, alles über einen Kamm scheren wird nicht gut gehen! Die Summe von 5000 habe ich bei meiner Berechnung leider übersehen ... Ich habe mich an das Schaubild gehalten und dieses erscheint nun mal mit einer exponentiellen beschränkten Abnahme ganz gut abgebildet. Möglicherweise kann man darin nun noch die Störfaktoren einbauen. mY+
06.08.2016, 18:39	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir stellt sich die Frage, welche Anforderungen der Fragesteller tatsächlich hat und ob sich die überhaupt gemeinsam erfüllen lassen. Und dabei erschien mir die Forderung $\begin{eqnarray} f(1)=0.2N \end{eqnarray}$ ziemlich problematisch. Man kann sie in dem Beispiel erfüllen, wenn man die Exponentialfunktion schneller abfallen lässt. Dann passt sie aber nicht zu der gezeichneten Kurve. Und für eine andere Teilnehmerzahl braucht man wieder eine andere Exponentialfunktion.
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