Differenzierbarkeit einer Funktion von mehreren Variablen widerlegen

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Matematik Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzierbarkeit einer Funktion von mehreren Variablen widerlegen
Hallo liebe Mathematiker,

ich soll zeigen, dass folgende Funktion im Ursprung, also im Punkt nicht differenzierbar ist.



Hierzu habe ich erst mal die partiellen Ableitungen gebildet, da ja eine Funktion in einem Punkt differenzierbar ist, wenn dort ihre partiellen Ableitungen existieren.

Somit komme ich auf

Jetzt überprüfe ich noch auf Stetigkeit und hoffe, dass sie unstetig ist, da somit die Differenzierbarkeit widerlegt wäre.

Ich habe die Betrachtung entlang des Weges gemacht. Dies führt auf



Das bedeutet, dass der Grenzwert existiert, also die Funktion im Ursprung stetig und somit differenzierbar ist, was ich doch eigentlich widerlegen sollte.

Als das nicht funktioniert hat, habe ich es mit einem anderen Weg versucht. Und zwar habe ich die Information, dass man bei Funktionen die Stetigkeit mittels Polarkoordinaten überprüfen kann, ausgenutzt.

Das führt mit und auf:



Dies führt wieder auf Differenzierbarkeit im Ursprung. Ich habe echt keine Idee mehr, wie ich das zeigen soll. Was mache ich denn falsch? Gibt es keinen kompakteren, leichteren Weg, dies zu zeigen?

Danke
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit einer Funktion von mehreren Variablen widerlegen
Irgendwie machst du die falschen Folgerungen: die Existenz der partiellen Ableitungen und die Stetigkeit der Funktion f reicht nicht aus für die Differenzierbarkeit der Funktion.
Es müssen auch die partiellen Ableitungen stetig sein.

Für die Stetigkeit als solche reicht es auch nicht, den Grenzwert entlang eines bestimmten Weges (Gerade) zu untersuchen.

Ich schieb das mal in den Hochschulbereich.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit einer Funktion von mehreren Variablen widerlegen
Zitat:
Original von klarsoweit
Es müssen auch die partiellen Ableitungen stetig sein.

Das ist wohl nicht ganz richtig: Die Stetigkeit der partiellen Ableitungen ist hinreichend, aber nicht notwendig für die hier angefragte totale Differenzierbarkeit:

https://de.wikipedia.org/wiki/Differenzi...rkeitsbegriffen .

D.h., es gilt die Implikationskette

stetige partielle Differenzierbarkeit totale Differenzierbarkeit Differenzierbarkeit in jede Richtung partielle Differenzierbarkeit ,

jedoch keine der Umkehrungen.


(Totale) Differenzierbarkeit im Punkt erfordert, dass es einen Vektor (=Gradient) gibt mit

mit .

Offenbar ist hier und damit . Es ist daher die Gültigkeit von zu diskutieren.
Matematik Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin nun verwirrter als ich ohnehin schon war verwirrt traurig

Kann das vielleicht jemand vormachen, sodass ich eine Musterlösung habe und mich daran orientieren kann?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigung, ich hatte in der letzten Zeile ein Limes-Symbol vergessen - korrigiert.

Zitat:
Original von Matematik
Kann das vielleicht jemand vormachen

Das hatte ich doch weitestgehend getan, zumindest habe ich es auf die Frage der Gültigkeit bzw. überhaupt erstmal Existenz des genannten Grenzwertes zurückgeführt (dessen Berechnung/Diskussion wollte ich dir noch überlassen) - alles streng nach Definition. Was weiter gibt es denn sonst noch "vorzumachen"?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Matematik
Ich bin nun verwirrter als ich ohnehin schon war verwirrt traurig

Welche Definition der Differenzierbarkeit ist dir denn geläufig?
 
 
Matematik Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sollte doch zeigen, dass die Funktion im Ursprung nicht differenzierbar ist. Eine Funktion ist genau dann total differenzierbar, wenn

Zitat:
Original von HAL 9000

mit


gilt.

Dies ist in unserem Fall doch erfüllt. Also ist die Funktion im Punkt differenzierbar. Laut Aufgabenstellung sollte sie es aber nicht sein.. verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Matematik
Ich sollte doch zeigen, dass die Funktion im Ursprung nicht differenzierbar ist. Eine Funktion ist genau dann total differenzierbar, wenn

Zitat:
Original von HAL 9000

mit


gilt.

Dies ist in unserem Fall doch erfüllt.

Also bislang ist nicht erkennbar, daß das erfüllt wäre. verwirrt
Matematik Auf diesen Beitrag antworten »



Das muss doch gezeigt werden.

,

da und

Oder?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht nur auf die Formeln schauen, sondern auch den Begleittext dazu lesen:

Zitat:
Original von HAL 9000
Es ist daher die Gültigkeit von zu diskutieren.

D.h., ich habe nicht behauptet, dass diese Grenzwertaussage im vorliegenden Fall richtig ist, sondern nur, dass er im Falle der Differenzierbarkeit so aussehen muss - und im Fall der Nichtdifferenzierbarkeit eben nicht (d.h. anderer Wert oder Nichtexistenz).
Matematik Auf diesen Beitrag antworten »

Leute, wollt ihr mir wirklich helfen?

Ich lese hier nichts, was meine Frage wirklich beantwortet! Wenn ich nur Definitionen oder ähnliches nachschlagen wollte, würde ich es sicher mit einem Lehrbuch machen. Der Hauptgrund, warum ich diese Frage hier gepostet habe, war, jemanden zu finden, der mir diese Sache aufbröselt, mich "an der Hand nimmt" und mit mir Schritt für Schritt zur Lösung kommt.

Also entweder seid ihr mit vollem Herz und ganzer Hilfsbereitschaft dabei und wollt wirklich helfen oder ihr lasst es komplett. Für mich dienen eure bisherigen "Antworten" nur dazu, eure Beitragszahlen zu pushen. Es ist ja schön zu sehen, dass ihr offensichtlich das Thema versteht aber es hilft nicht, wenn ich nichts davon habe.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Matematik
Ich lese hier nichts, was meine Frage wirklich beantwortet!

Deine Frage war, wie man Nichtdiffernzierbarkeit hier nachweisen kann. Und dazu habe ich die Definition auf die Funktion hier angewandt und das auf die Frage Existenz/Nichtexistenz des genannten Grenzwertes zurückgeführt, denn du jetzt nur noch anschauen solltest. Er existiert übrigens nicht.

Ich hätt ja noch was gesagt zu deiner falschen Abschätzung in der Ungleichungskette 16:44, aber das muss nun wohl ein anderer machen, da du dich ja lieber in Beleidigungen wie

Zitat:
Original von Matematik
Für mich dienen eure bisherigen "Antworten" nur dazu, eure Beitragszahlen zu pushen.

versteigst. Forum Kloppe

Und Tschüss.
Matematik Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL 9000, tschüss!

Wenn dann bitte jemand, der einem anderen was erklären bzw. beibringen kann.
Matematik Auf diesen Beitrag antworten »

Habe nun eine andere Methode gewählt, um die Nicht-Differenzierbarkeit im Ursprung zu zeigen.

Und zwar habe ich das Lemma von Schwarz der Form

benutzt um zu zeigen, dass die Funktion erst dann (total) differenzierbar ist, wenn die gemischten 2. partiellen Ableitungen jeweils in dem Punkt übereinstimmen, ansonsten nur partiell differenzierbar.

1. partielle Ableitung :



1. partielle Ableitung :



Partielle Ableitungen im Ursprung:





Mit der Definition der partiellen Ableitung führt das auf:





Da ist die Funktion im Punkt nicht total differenzierbar.

In der Aufgabenstellung ist zwar das Adjektiv "total" nicht angegeben, aber ich gehe mal davon aus, dass dies gefragt ist.

Für mich wäre das nun gezeigt. Oder liege ich wieder falsch?Wenn ja, bitte explizit erklären.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

das stimmt so leider nicht. Du kannst nur schließen, dass die Voraussetzung des Satzes von Schwarz nicht erfüllt sind. Diese sind aber viel stärker, als einfache totale Differenzierbarkeit. Du weißt also nur, das eine stärkere Aussage als die zu zeigende nicht gilt. Das hilft dir nicht weiter. Du musst schon direkt mit der Definition arbeiten.

In dem Beitrag, wo du versuchst, die Definition der totalen Differenzierbarkeit nachzuweisen solltest du die erste Abschätzung nochmal überdenken. Warum meinst du, dass die gilt?
Matematik Auf diesen Beitrag antworten »

War das nicht so, dass man nach oben abschätzt, in dem man den Bruch insgesamt vergrößert? Daher habe ich den Nenner verkleinert. War wohl nichts.. Was habe ich da falsch gemacht bzw. wie würde die Abschätzung richtig aussehen?
005 Auf diesen Beitrag antworten »

Du scheinst da nach dem Motto zu verfahren, dass die Potenz kleiner wird, wenn man verkleinert. Das ist aber nur fuer richtig. Fuer wird sie stattdessen groesser.

Dass der fragliche Grenzwert nicht existiert, bzw. wenigstens nicht null sein kann, kann man mit mehreren Methoden zeigen. Die ueblichen sind alle dabei.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Matematik
Leute, wollt ihr mir wirklich helfen?

Ich lese hier nichts, was meine Frage wirklich beantwortet! Wenn ich nur Definitionen oder ähnliches nachschlagen wollte, würde ich es sicher mit einem Lehrbuch machen. Der Hauptgrund, warum ich diese Frage hier gepostet habe, war, jemanden zu finden, der mir diese Sache aufbröselt, mich "an der Hand nimmt" und mit mir Schritt für Schritt zur Lösung kommt.

Erstens: haben wir (vor allem HAL 9000) genau das getan.
Zweitens: muß man sich auch mal Definitionen ansehen, damit man eine gemeinsame Basis hat.

Und drittens mußte dieses:
Zitat:
Original von Matematik


Das muss doch gezeigt werden.

untersucht und gezeigt werden, daß der Grenzwert nicht existiert bzw. nicht Null ist. Und da braucht man nur noch x_n = y_n = 1/n wählen, und man ist da. Das war die einzige Leistung, die noch von dir zu erbringen war. Und ich denke, daß stellt im Hochschulbereich keine Überforderung dar.
Im Übrigen ist mir die Anzahl meiner Beiträge völlig schnuppe. geschockt
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