Ausdrücke vereinfachen

09.08.2016, 10:48

Mathe:(

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Ausdrücke vereinfachen

ahoi zusammen,

ich habe zwei ausdrücke die ich vereinfachen soll.
leider kenne ich nur die lösungen und mir fehlen die rechenwege, welche mich irgendwie nicht auf den richtigen weg führen.

aufgabe 1:
hier habe ich irgendwie gar keine ansatz
$\begin{eqnarray*} (144a^{4}-81b^{2})/(27b+36a^{2}) \end{eqnarray*}$

aufgabe 2:
$\begin{eqnarray*} \frac{a}{a-1}+\frac{a}{a+1}-2 \end{eqnarray*}$

bei der zweiten aufgabe lande ich irgendwann bei
$\begin{eqnarray*} \frac{2a^{2}}{a^{2}-1}-2 \end{eqnarray*}$

jedoch lautet die lösung
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{a^{2}-1} \end{eqnarray*}$

kann mir hier jemand auf die sprünge helfen?

liebe grüße

09.08.2016, 10:54

willyengland

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Beim ersten springt doch die 3. binomische Formel ins Auge?
Im Nenner 3 ausklammern,

Das zweite ist soweit korrekt.
Du musst jetzt nur noch ein zweites Mal den Hauptnenner bilden.

09.08.2016, 11:18

Mathe:(

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aufgabe 1:

binomische formel wurde mir auch schon als stichwort genannt, aber irgendwie bringt mich das nicht auf den weg unglücklich

unglücklich

aufgabe 2:

wie bildet man denn in meinem beispiel den hauptnenner?

09.08.2016, 11:28

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathe
binomische formel wurde mir auch schon als stichwort genannt, aber irgendwie bringt mich das nicht auf den weg unglücklich

unglücklich

Warum nicht. Die 3. binomische Formel ist doch im Zähler erkennbar, oder nicht? Und im Nenner könntest du mal eine 3 ausklammern.

Zitat:

Original von Mathe
wie bildet man denn in meinem beispiel den hauptnenner?

Mit a² - 1 hast du schon den Hauptnenner. Du mußt jetzt noch den Bruch mit der 2 zusammenfassen, indem du die 2 entsprechend erweiterst.

09.08.2016, 11:42

Mathe:(

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vielleicht versuche ich erstmal eine der beiden zu verstehen.
da ich bei der 2ten schon wenigstens etwas habe, mache ich mal mit der weiter...

$\begin{eqnarray*} \frac{2a^{2}}{a^{2}-1}-2 \end{eqnarray*}$

und wie erweitere ich die 2 entsprechend?

$\begin{eqnarray*} \frac{2a^{2}-2*(a^{2}-1)}{a^{2}-1} \end{eqnarray*}$

darf man denn einfach den nenner mit der 2 multiplizieren? verwirrt

verwirrt

09.08.2016, 12:04

Mathe:(

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kann man das auch so schreiben?

$\begin{eqnarray*} \frac{2a^{2}}{a^{2}-1}-2 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{2a^{2}}{a^{2}-1}-\frac{2}{1} \end{eqnarray*}$

dann würde man... erhalten

$\begin{eqnarray*} \frac{(2a^{2})*1}{(a^{2}-1)*1}-\frac{2*(a^{2}-1)}{1*(a^{2}-1)} \end{eqnarray*}$

nun könnte man die zähler subtraieren und den nenner zusammen nehmen

$\begin{eqnarray*} \frac{(2a^{2})*1-2*(a^{2}-1)}{(a^{2}-1)*1} \end{eqnarray*}$

das wurde dann ausgerechnet auf die lösung kommen

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09.08.2016, 12:15

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathe
kann man das auch so schreiben?

$\begin{eqnarray*} \frac{2a^{2}}{a^{2}-1}-2 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{2a^{2}}{a^{2}-1}-\frac{2}{1} \end{eqnarray*}$

Das ist besser.

Zitat:

Original von Mathe
dann würde man... erhalten

$\begin{eqnarray*} \frac{(2a^{2})*1}{(a^{2}-1)*1}-\frac{2*(a^{2}-1)}{1*(a^{2}-1)} \end{eqnarray*}$

Im Prinzip ja, wobei das "* 1" im linken Bruch obsolet ist, da dieser ja schon den Hauptnenner a²-1 hat.

09.08.2016, 12:35

Mathe:(

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Zitat:

Original von klarsoweit
Im Prinzip ja, wobei das "* 1" im linken Bruch obsolet ist, da dieser ja schon den Hauptnenner a²-1 hat.

ich habe mich einfach an diesen satz gehalten:
Wenn mehr als zwei Brüche addiert oder subtrahiert werden sollen, so muß jeder Bruch mit den Nennern aller anderen Brüche erweitert werden.

daher die *1, wenn ichs richtig verstanden habe?

okay nun zur anderen aufgabe:

$\begin{eqnarray*} (144a^{4}-81b^{2})/(27b+36a^{2}) \end{eqnarray*}$

mit der 3ten binomischen formel komme ich auf

$\begin{eqnarray*} (12a^{2}-9b)*(12a^{2}-9b)/(27b+36a^{2}) \end{eqnarray*}$

kann man nun dividieren?

09.08.2016, 12:51

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathe
Wenn mehr als zwei Brüche addiert oder subtrahiert werden sollen, so muß jeder Bruch mit den Nennern aller anderen Brüche erweitert werden.

Ich weiß jetzt nicht, wer diesen Satz erfunden hat, der zwar formal korrekt ist, aber womit man auch schnell über das Ziel hinausschießt. Beispiel (wenn man diesen Satz anwendet):
$\begin{eqnarray*} \frac 1 2 + \frac 1 4 = \frac 4 8 + \frac 2 8 = \frac 6 8 = \frac 3 4 \end{eqnarray*}$

Schneller geht's, wenn man den ersten Bruch einfach nur mit 2 erweitert:
$\begin{eqnarray*} \frac 1 2 + \frac 1 4 = \frac 2 4 + \frac 1 4 = \frac 3 4 \end{eqnarray*}$

Wenn man also einen Hauptnenner hat (das ist nicht automatisch das Produkt aller vorkommenden Nenner), dann muß man nur diejenigen Brüche erweitern, die den Hauptnenner noch nicht haben.

Zitat:

Original von Mathe
mit der 3ten binomischen formel komme ich auf

$\begin{eqnarray*} (12a^{2}-9b)*(12a^{2}-9b)/(27b+36a^{2}) \end{eqnarray*}$

kann man nun dividieren?

Erst mal ist die 3. binomische Formel verunglückt. Und wenn überhaupt, dann kürzen. Dazu fehlt dir im Nenner ein Faktor, der im Zähler vorkommt. Und ich sagte ja schon, daß du im Nenner eine 3 ausklammern sollst.

09.08.2016, 12:56

Mathe:(

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$\begin{eqnarray*} \frac{(12a^{2}+9b)*(12a^{2}-9b)}{3*(9b+12a^{2})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(12a^{2}-9b)}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4a^{2}-3b \end{eqnarray*}$

man muss irgendwie ein auge dafür entwickeln, alleine wäre ich wohl nie auf die idee mit dem 3 ausklammern gekommen unglücklich

unglücklich

09.08.2016, 13:12

klarsoweit

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OK, so paßt es (wenn man noch Gleichheitszeichen dazwischen macht). Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.08.2016, 14:39

Mathe:(

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habe mal ein paar weitere übungsaufgaben gemacht und bei einer habe ich ein invertiertes ergebnis raus bekommen, welches ich dann eigentlich *(-1) nehmen müsste um auf die vorgeschlagene lösung zu kommen. ist dies trotzdem richtig?

mein ergebnis:
$\begin{eqnarray*} \frac{a-a^{2}b+1}{-ab} \end{eqnarray*}$

lösung:
$\begin{eqnarray*} \frac{a^{2}b-a-1}{ab} \end{eqnarray*}$

09.08.2016, 14:49

klarsoweit

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Nun ja, du mußt ja dein Ergebnis nicht mit -1 multiplizieren, sondern deinen Bruch mit -1 erweitern, was ja zulässig ist, da das eine äquivalente Umformung ist.

09.08.2016, 14:52

Mathe:(

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Zitat:

Original von klarsoweit
Nun ja, du mußt ja dein Ergebnis nicht mit -1 multiplizieren, sondern deinen Bruch mit -1 erweitern, was ja zulässig ist, da das eine äquivalente Umformung ist.

aber ist das notwenig? oder kann es durch unterschiedliche rechenwege zu diesem unterschied kommen?

also könnte ich irgendwo was vergessen haben?

09.08.2016, 14:57

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathe
aber ist das notwenig?

Nein.

Zitat:

Original von Mathe
oder kann es durch unterschiedliche rechenwege zu diesem unterschied kommen?

Ja, wobei der Unterschied nur optischer Natur ist. Die Ergebnisse als solche sind mathematisch gleich (man sagt auch "äquivalent"). Zur Verdeutlichung: $\begin{eqnarray*} \frac 3 2 \end{eqnarray*}$ sieht auch anders aus als 1,5. Inhaltlich ist es gleich. smile

smile

09.08.2016, 15:13

Steffen Bühler

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Nur eine Anmerkung:

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Mathe
aber ist das notwenig?

Nein.

Höchstens, wenn "Vereinfachen" bedeutet, dass sowenig negative Vorzeichen wie möglich vorkommen sollten. Das sollte im Unterricht besprochen worden sein. Es gibt Ästheten, die sich am Minuszeichen im Nenner stören könnten...

Viele Grüße
Steffen

10.08.2016, 08:23

Mathe:(

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vielen dank schonmal für die ganze hilfe, aber ich bin noch nicht am ende angekommen.
ein paar aufgaben weiter bin ich nun auf diese gestoßen:

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{1-a*\frac{1}{1+\frac{b}{a}}} \end{eqnarray*}$

solche großen brüche, fängt man wohl am besten zuerst möglichst weit unten an zu vereinfachen, oder?

also habe ich das +1 erstmal bearbeitet und erhalte dieses:

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{1-a*\frac{1}{\frac{a+b}{a}}} \end{eqnarray*}$

nun habe ich da schon vieles versucht, aber komme wohl nicht auf den richtigen weg.

ich würde jetzt eigentlich

$\begin{eqnarray*} a*{\frac{1}{\frac{a+b}{a}}} \end{eqnarray*}$

ausrechnen wollen, weiß jedoch nicht wie... ist dies überhaupt richtig als nächster schritt?

10.08.2016, 08:34

willyengland

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} a*{\frac{1}{\frac{a+b}{a}}} \end{eqnarray*}$

Das linke a kannst du doch schon mal in den Zähler schreiben.
Und dann gilt ja:
Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert mal nimmt.

10.08.2016, 08:52

Mathe:(

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stimmt ich könnte das -a/1 einfach mit dem anderen bruch multiplizieren (rüber schreiben wie du sagst)

was passiert mit dem negativen vorzeichen? ich muss doch 1 * -a rechnen? also wird das negative vorzeichen mit übernommen, bleibt es dann noch nach der 1 stehen? oder verschwindet es? wenn es verschwindet habe ich kein vorzeichen mehr vor dem bruch und es würde dann ohne vorzeichen wie eine multiplikation aussehen verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{1-\frac{-a}{\frac{a+b}{a}}} \end{eqnarray*}$

nvm: punkt vor strich? also ohne negativen vorzeichen in den bruch schieben?

10.08.2016, 09:15

klarsoweit

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Das Minus vor dem Bruch verschwindet nicht und wird auch nicht in den Zähler gezogen, denn im Grunde hast du dies da stehen:

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{1- \left( a*\frac{1}{\frac{a+b}{a}} \right) } \end{eqnarray*}$

10.08.2016, 09:17

Mathe:(

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nun könnte ich es wie folgt schreiben:

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{1-a:\frac{a+b}{a}} \end{eqnarray*}$

dann ergibt sich daraus:

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{1-\frac{a^{2}}{a+b}} \end{eqnarray*}$

dann löse ich das -1 auf:

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{\frac{a+b-a^{2}}{a+b}} \end{eqnarray*}$

kann man wie folgt schreiben:

$\begin{eqnarray*} 1-1:\frac{a+b-a^{2}}{a+b} \end{eqnarray*}$

dann die 1: auflösen

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{a+b}{a+b-a^{2}} \end{eqnarray*}$

1 - auflösen ergibt

$\begin{eqnarray*} \frac{a+b-a^{2}-a+b}{a+b-a^{2}} \end{eqnarray*}$

kürzen

$\begin{eqnarray*} \frac{2b-a^{2}}{a+b-a^{2}} \end{eqnarray*}$

aber irgendwo muss sich noch ein fehler eingeschlichen haben, die lösung lautet etwas anders

lösung:

$\begin{eqnarray*} \frac{a^{2}}{a^{2}-a-b} \end{eqnarray*}$

10.08.2016, 09:49

willyengland

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Zitat:

Original von Mathe
1 - auflösen ergibt

$\begin{eqnarray*} \frac{a+b-a^{2}-a+b}{a+b-a^{2}} \end{eqnarray*}$

Das letzte (a+b) muss in Klammern.

10.08.2016, 09:54

Mathe:(

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ahhh

dann kann ich a+b - (a+b) rechnen und habe dann das ergebnis, nur irgendwie wieder invertiert

vielen dank Gott

Gott

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

10.08.2016, 10:03

willyengland

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Du kannst dann noch mit (-1) erweitern.

10.08.2016, 10:32

Mathe:(

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Zitat:

Original von willyengland
Du kannst dann noch mit (-1) erweitern.

da hatten wir ja gesagt, dass das nicht zwingend notwenig ist.

kurze verständnis frage, wie ich mir die lösung zu folgender aufgabe erklärt habe.

$\begin{eqnarray*} \frac{b^{2}-a^{2}}{-a-b} \end{eqnarray*}$

man könnte es auch wie folgt schreiben

$\begin{eqnarray*} \frac{b^{2}-a^{2}}{-a^{1}-b^{1}} \end{eqnarray*}$

nun kann ich die potenzen mit dem potenzgesetz subtrahieren und da im nenner negative vorzeichen sind, müssen diese beim umwandeln beachtet werden. kommt mir irgendwie falsch von der eigenen erklärung her vor, jedoch stimmt das ergebnis

$\begin{eqnarray*} a-b \end{eqnarray*}$

10.08.2016, 10:36

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathe
nun kann ich die potenzen mit dem potenzgesetz subtrahieren

Aber hier dividierst du durch eine Summe, nicht durch eine Potenz. Aber auch hier sollte im Zähler mal wieder die 3. binomische Formel ins Auge stechen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Kleiner Tipp: klammere im Nenner das Minus aus.

10.08.2016, 10:55

Mathe:(

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Mathe
nun kann ich die potenzen mit dem potenzgesetz subtrahieren

Aber hier dividierst du durch eine Summe, nicht durch eine Potenz. Aber auch hier sollte im Zähler mal wieder die 3. binomische Formel ins Auge stechen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Kleiner Tipp: klammere im Nenner das Minus aus.

stimmt die ist eigtl deutlich sichtbar Hammer

Hammer

$\begin{eqnarray*} \frac{(b+a)*(b-a)}{-a-b} \end{eqnarray*}$

- ausklammern

$\begin{eqnarray*} \frac{(b+a)*(b-a)}{(a+b)*(-1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(b-a)}{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(-b+a)}{1} \end{eqnarray*}$

:1 ist immer der zähler also -b+a oder wie in der lösung $\begin{eqnarray*} a-b \end{eqnarray*}$

danke Freude

Freude

die nächste aufgabe war inzwischen ein richter selbstgänger... nun sind noch 2 von dem typen über, mal sehen wie die laufen

10.08.2016, 11:52

Mathe:(

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läuft doch nich so einfach wie erhofft

$\begin{eqnarray*} \frac{1+a}{a-1}-\frac{4-a}{1-a}-\frac{2a-8}{1+a}+\frac{3a+7}{a^{2}-1} \end{eqnarray*}$

die wird bei mir auf dem blatt extrem lang und komplex

zunächst wollte ich das ganze auf einen bruchstrich bringen... also
ich wollte erst alles zusammen fassen und die ganzen nenner * den jeweiligen zählern nehmen und die nenner * der anderen nenner.
das hat dann nicht mehr aufs blatt gepasst und so habe ich erst die ersten beiden genommen und dann die hinteren beiden.... das wurde irgendwie zu verwirrend. unglücklich

unglücklich

ist das überhaupt der richtige ansatz? kann ja nicht sein, dass man dafür ein din a2 blatt braucht um die aufgabe zu lösen Big Laugh

Big Laugh

10.08.2016, 12:01

klarsoweit

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Da sind wir jetzt genau bei diesem Thema:

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Mathe
Wenn mehr als zwei Brüche addiert oder subtrahiert werden sollen, so muß jeder Bruch mit den Nennern aller anderen Brüche erweitert werden.

Ich weiß jetzt nicht, wer diesen Satz erfunden hat, der zwar formal korrekt ist, aber womit man auch schnell über das Ziel hinausschießt.

Da hast du jetzt die Wahl, ein mehrseitiges Buch zu füllen oder dich doch lieber darauf zu besinnen, daß die Wahl eines möglichst sparsamen Hauptnenners Vorteile hat. Dazu solltest du den Nenner vom 4. Bruch als Produkt schreiben und mal schauen, ob sich davon Faktoren bei den anderen Nennern wiederfinden.
Übrigens: im 2. Bruch kannst du schon mal mit -1 erweitern. smile

smile

10.08.2016, 12:22

Mathe:(

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wenn ich einen bruch mit -1 erweiter, ist das vorzeichen des bruchs davon unbetroffen oder?

also würde dies dabei raus kommen ja?

$\begin{eqnarray*} \frac{1+a}{a-1}-\frac{-4+a}{-1+a}-\frac{2a-8}{1+a}+\frac{3a+7}{a^{2}-1} \end{eqnarray*}$

als produkt

$\begin{eqnarray*} \frac{1+a}{a-1}-\frac{-4+a}{a-1}-\frac{2a-8}{1+a}+\frac{3a+7}{a*a-1} \end{eqnarray*}$

das a-1 wird deutlich, aber es ist mir trotzdem noch kein weg klar vor augen unglücklich

unglücklich

edit:

ich habe mal die ersten beiden zusammen gefasst

$\begin{eqnarray*} \frac{5+2a}{a-1}-\frac{2a-8}{1+a}+\frac{3a+7}{a*a-1} \end{eqnarray*}$

10.08.2016, 12:51

klarsoweit

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Die beiden ersten Brüche hast du leider falsch zusammengefaßt (falsches Handling des Minus vor dem 2. Bruch).

Die Schreibweise a² - 1 = a*a - 1 ist zwar korrekt, aber bei a*a - 1 hast du in erster Linie kein Produkt, sondern eine Summe. Aber wie so oft hilft hier die hmhmhm-Formel. Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.08.2016, 13:17

Mathe:(

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Zitat:

Original von klarsoweit
Die beiden ersten Brüche hast du leider falsch zusammengefaßt (falsches Handling des Minus vor dem 2. Bruch).

Die Schreibweise a² - 1 = a*a - 1 ist zwar korrekt, aber bei a*a - 1 hast du in erster Linie kein Produkt, sondern eine Summe. Aber wie so oft hilft hier die hmhmhm-Formel. Augenzwinkern

Augenzwinkern

grml, habe die aufgabe so schon zuende gerechnet... ergebnis stimmt natürlich nicht

wieder eine seite voller falscher zahlen, das ergebnis im nenner stimmt wenigstens Big Laugh

Big Laugh

also wie geht man mit dem minus vor dem bruch richtig um, wenn der nenner identisch ist?

$\begin{eqnarray*} \frac{1+a}{a-1}-\frac{-4+a}{a-1}-\frac{2a-8}{1+a}+\frac{3a+7}{a*a-1} \end{eqnarray*}$

wird aus minus und minus nicht + ? also +5 ist richtig? aber muss ich das a dann auch minus nehmen, weil - und + = - sind? ich hätte gedacht, dass das minus vor dem bruch sich nur auf das vorzeichen der 4 bezieht, wobei das minus vor dem bruch ja auf die summe des bruches bezogen ist. also muss man den gesammten zähler betrachten?

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{a-1}-\frac{2a-8}{1+a}+\frac{3a+7}{a*a-1} \end{eqnarray*}$

10.08.2016, 13:33

Mathe:(

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supi, so komme ich aufs ergebnis

also merken:
wenn zwei brüche subtrahiert werden, immer den ganzen zähler betrachten, da der ganze bruch subtrahiert wird und nicht nur die erste zahl Forum Kloppe

Forum Kloppe

10.08.2016, 13:56

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathe
wenn zwei brüche subtrahiert werden, immer den ganzen zähler betrachten, da der ganze bruch subtrahiert wird und nicht nur die erste zahl Forum Kloppe

Forum Kloppe

Korrekt. Wie sieht es denn mit dem Rest der Rechnung aus?

10.08.2016, 15:10

Mathe:(

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hat geklappt Freude

Freude

muss aber gleich einen neuen thread bezüglich komplexer zahlen starten Big Laugh

Big Laugh

1

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