Winkelrelationen

10.08.2016, 08:13

Lens

Winkelrelationen

Meine Frage:
Ich muss folgende Winkelrelation beweisen:
$\begin{eqnarray*} cot \alpha \cdot cot \beta + cot \beta \cdot cot \gamma + cot \gamma \cdot cot \alpha = 1 \end{eqnarray*}$
Hat jemand einen Tipp?

Meine Ideen:
Über die Additionstheoreme?

10.08.2016, 08:31

HAL 9000

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Für beliebige gewählte Winkel $\begin{align*} \alpha,\beta,\gamma \end{align*}$ gilt diese Relation nicht. Sind das die drei Dreiecksinnenwinkel, dann allerdings schon - hast du wohl "vergessen" zu erwähnen...

Im Beweis kann und muss dann auch die entsprechende Winkelsummeneigenschaft $\begin{align*} \alpha+\beta+\gamma=\pi \end{align*}$ verwendet werden, etwa indem man einen der Winkel durch die anderen beiden ausdrückt, z.B. $\begin{align*} \gamma = \pi-(\alpha+\beta) \end{align*}$ , es folgt

$\begin{align*} \cot\gamma = \cot(\pi-(\alpha+\beta)) = -\cot(\alpha+\beta) \end{align*}$

und weiter dann mit Additionstheoremen.

10.08.2016, 08:45

willyengland

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RE: Winkelrelationen
Kurzer Zwischenruf eines Anfängers: smile

Der erste Summand ist ja 1.
Also

$\begin{eqnarray*} cot \gamma \cdot (cot \alpha + cot \beta)=0 \end{eqnarray*}$

10.08.2016, 10:37

mYthos

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RE: Winkelrelationen

Zitat:

Original von willyengland
Kurzer Zwischenruf eines Anfängers: smile

Der erste Summand ist ja 1.
...

Weshalb dies? Es ist doch im Allgemeinen KEIN rechtwinkeliges Dreieck (!)

mY+

10.08.2016, 10:48

willyengland

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Ach so, ja, stimmt. Danke!

10.08.2016, 11:02

Leopold

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Man könnte es auch so sehen: Dahinter versteckt sich die Formel von Heron für den Flächeninhalt $\begin{align*} F \end{align*}$ eines Dreiecks. Wie üblich seien $\begin{align*} a,b,c \end{align*}$ dessen Seiten und $\begin{align*} \alpha,\beta,\gamma \end{align*}$ die ihnen gegenüberliegenden Winkel. Nach Heron gilt:

$\begin{align*} 16F^2 = (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) = -a^4 - b^4 - c^4 + 2a^2 b^2 + 2a^2 c^2 + 2b^2 c^2 \end{align*}$

Mit dem Cosinus-Satz folgt:

$\begin{align*} \cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \end{align*}$

Und ist $\begin{align*} h_c \end{align*}$ die Höhe auf $\begin{align*} c \end{align*}$ , so gilt weiter:

$\begin{align*} \sin \alpha = \frac{h_c}{b} \end{align*}$

Aus beidem folgt:

$\begin{align*} \cot \alpha = \frac{\left( b^2 + c^2 - a^2 \right) \cdot b}{2bc \cdot h_c} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{4F} \end{align*}$

Die beiden anderen Formeln erhält man durch zyklische Vertauschung. Hier alle auf einmal:

$\begin{align*} \cot \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{4F} \, , \ \ \cot \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{4F} \, , \ \ \cot \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{4F} \end{align*}$

Jetzt die Terme in den vorgegebenen Cotangens-Term einsetzen und fleißig ausmultiplizieren und zusammenfassen.

10.08.2016, 13:23

Lens

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Ah super! Danke smile

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