Primzahlen

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Bastimus Soprano Auf diesen Beitrag antworten »
Primzahlen
Meine Frage:
Die Anzahl der zusammengesetzten Zahlen zwischen zwei benachbarten Primzahlen (>2) ist stets ungerade.

Meine Ideen:
1. Genügt es hier zu zeigen, dass die Differenz zweier Primzahlen, die ungerade sind, stets gerade ist.
2n+1 - 2n-1 = 2

2. Gerade Zahl -1 = ungerade Zahl
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Primzahlen
Stimmt so. Wenn man kann streng sein will, muss man noch explizit erwähnen, warum alle diese Zahlen zusammengesetzt sind.
Bastimus Soprano Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Primzahlen
Und diese Zahlen müssen zusammengesetzt sein, weil diese die folgende Struktur haben müssen:

Die kleinste zusammengesetzte: (n+1)! + 2
bis zu größten zusammengesetzten: (n+1)! + (n+1)

Oder gibt es eine andere Möglichkeit?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Primzahlen
Ich verstehe die Argumentation nicht. Und die Aussage ist für beliebige Primzahlen auch falsch: Die zusammengesetzten Zahlen zwischen und sind , eine gerade Anzahl. Man hat sich hier aber ja nicht beliebige Primzahlen ausgesucht.
Bastimus Soprano Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Primzahlen
Wie kann man denn zeigen, dass die Zahlen dazwischen immer zusammengesetzt sind?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Primzahlen
Lies dir die Aufgabenstellung in Ruhe durch. Ein Schlüsselwort darin schließt mein Gegenbeispiel aus, und begründet warum alle Zahlen zwischen "zulässigen" Primzahlen zusammengesetzt sind.
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die erste Idee ist im Prinzip richtig, aber falsch formuliert. Richtig ist die folgende Formulierung:
Seien p,q verschiedene ungerade Primzahlen, dann existieren natürliche Zahlen m und n mit p=2n+1, q=2m+1. o.B.d.A sei p>q, dann ist p-q=(2n+1)-(2m+1)=2(n-m) gerade. Also liegen 2(n-m)-1 Zahlen zwischen p und q, diese Anzahl ist ungerade.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

@Elvis

Auch bei dir fehlt die Folgerung, dass alle diese ungerade Zahlen zusammengesetzt (nicht prim) sind und die dafür nötige Bedingung der Nachbarschaft der Primzahlen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nur zu dieser Idee Stellung genommen, weil die Formulierung falsch war.
Die Aussage, dass die Zahlen zwischen benachbarten Primzahlen zusammengesetzt (d.h. nicht prim) sind, ist anscheinend nicht für jeden trivial (aber klar, denn sonst wäre ein r prim, und wegen q<r<p ist das ein Widerspruch zur Voraussetzung der Nachbarschaft von p und q).
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