Zahl gerade

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11.08.2016, 18:15

Stepo

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Beweis: Wenn Quadrat natürlicher Zahl gerade >> Zahl gerade

Grüße an alle Wink

Dies ist mein erster Beitrag seid also bitte nachsichtig mit mir Hammer

.
Ich habe mit einem direkten Beweis versucht zu zeigen, dass wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine natürliche Zahl ist und $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ gerade ist,
auch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gerade sein muss (durch Kontraposition ist es deutlich einfacher) .

Nach

$\begin{eqnarray*} n^{2} = 2m \end{eqnarray*}$ ( wobei $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ eine natürliche Zahl ist und $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ gerade) und Wurzel ziehen
$\begin{eqnarray*} n = \sqrt{2} * \sqrt{m} \end{eqnarray*}$ ist für mich intuitiv klar das $\begin{eqnarray*} \sqrt{m} \end{eqnarray*}$ ein ungerade vielfaches
von $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ sein muss um auf ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zu kommen welches in den natürlichen Zahlen liegt.

Dann könnte ich für $\begin{eqnarray*} \sqrt{m} = \sqrt{2} * (2*k - 1) \end{eqnarray*}$ (mit $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ aus den natürlichen Zahlen) schreiben.

Nun in die Gleichung oben einsetzten:

$\begin{eqnarray*} n = \sqrt{2} * \sqrt{2} * (2k-1) \Rightarrow n = 2 * (2k-1) \Rightarrow n \end{eqnarray*}$ ist gerade.

Ich könnte zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ irrational ist und dass das Produkt irrational * rational immer irrational ist um
damit durch Widerspruch zu beweisen, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{m} \end{eqnarray*}$ auch irrational ist aber woher weiß ich das es
nicht noch andere Lösungen für $\begin{eqnarray*} n = \sqrt{2} * \sqrt{m} \end{eqnarray*}$ gibt?

Vielen Dank schon mal im Voraus Wink

11.08.2016, 18:24

Leopold

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RE: Produkt zweier irrationaler Zahlen mit einer natürlichen Lösung eindeutig?

Zitat:

Original von Stepo
$\begin{eqnarray*} n = \sqrt{2} * \sqrt{m} \end{eqnarray*}$ ist für mich intuitiv klar das $\begin{eqnarray*} \sqrt{m} \end{eqnarray*}$ ein ungerade vielfaches
von $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ sein muss um auf ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zu kommen welches in den natürlichen Zahlen liegt.

Wieso das?

$\begin{align*} n = 8 = \sqrt{2} \cdot \underbrace{\sqrt{2} \cdot 4}_{\sqrt{m}} \end{align*}$

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