Frage zu Wurzeln

12.08.2016, 09:05

willyengland

Frage zu Wurzeln

Folgendes ist mir nicht klar:
Es wird in Mathebüchern immer darauf hingewiesen (und je "mathematischer", umso dringlicher), dass die (Quadrat-)Wurzel als der positive Wert definiert ist.

Nun werden aber z.B. mit der pq-Formel immer beide Werte (positiv und negativ) berechnet.

Wie kann man sich diesen Unterschied am besten klarmachen?

12.08.2016, 09:15

IfindU

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RE: Frage zu Wurzeln
Auch in der pq-Formel ist die Wurzel 'der positive Wert'. Mit der klassischen Definition hat $\begin{eqnarray*} x^2 = a \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a \geq 0 \end{eqnarray*}$ eben eine Lösung $\begin{eqnarray*} x_1 = \sqrt a \end{eqnarray*}$ , und die andere ist $\begin{eqnarray*} x_2 = -sqrt a \end{eqnarray*}$ . Aus mathematischer Sicht ist es mehr oder weniger egal, ob man die Wurzel mit positiven oder negativen Wert definiert. Beim positiven sind ein paar Rechenregeln einfacher zu formulieren, aber es nimmt sich nichts.

Was man aber möchte, ist dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{\cdot} : [0,\infty) \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine Funktion ist, also nur einen Wert liefert. Unabhängig welches Vorzeichen man nimmt ist die Funktion stetig, außerhalb der 0 sogar unendlich glatt usw.

12.08.2016, 09:38

willyengland

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RE: Frage zu Wurzeln

Zitat:

Was man aber möchte, ist dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{\cdot} : [0,\infty) \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine Funktion ist, also nur einen Wert liefert.

Ah, ok, das leuchtet mir ein.
Man entscheidet sich da für einen der beiden Äste.

Trotzdem kommt es ja in der Praxis oft vor, dass man beide Werte braucht.
Man darf aber nicht schreiben:

$\begin{eqnarray*} \sqrt64 = \pm 8 \end{eqnarray*}$ , oder doch?

Falls nicht, wie schreibt man das dann korrekt?

12.08.2016, 09:42

IfindU

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RE: Frage zu Wurzeln
Die sauberste Notation wird wohl die aus der pq-Formel sein, also $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{64} = \pm 8 \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} \sqrt \cdot \end{eqnarray*}$ eine Funktion ist, so ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{64} \end{eqnarray*}$ eine Zahl und auf der anderen Seite $\begin{eqnarray*} \pm 8 \end{eqnarray*}$ ein Tupel von Zahlen.

12.08.2016, 09:54

Leopold

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RE: Frage zu Wurzeln

Zitat:

Original von willyengland
... , dass die (Quadrat-)Wurzel als der positive Wert definiert ist.

Nun werden aber z.B. mit der pq-Formel immer beide Werte (positiv und negativ) berechnet.

Wie kann man sich diesen Unterschied am besten klarmachen?

Gerade weil für $\begin{align*} D \geq 0 \end{align*}$ die reelle Wurzel $\begin{align*} s = \sqrt{D} \end{align*}$ eindeutig als die Zahl $\begin{align*} s \end{align*}$ definiert ist, für die gilt:

$\begin{align*} \text{(1)} \ \ s \geq 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \text{(2)} \ \ s^2 = D \end{align*}$

muß in der $\begin{align*} pq \end{align*}$ -Formel mittels $\begin{align*} \pm \end{align*}$ auf beide Lösungsmöglichkeiten verwiesen werden:

$\begin{align*} x^2 + px + q = 0 \ \ \text{mit} \ \ D = \left( \frac{p}{2} \right)^2 - q \geq 0 \end{align*}$

$\begin{align*} x = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{D} \end{align*}$

Würde man das Wurzelzeichen mehrdeutig verwenden, könnte man in der $\begin{align*} pq \end{align*}$ -Formel auf $\begin{align*} \pm \end{align*}$ verzichten.

12.08.2016, 10:04

willyengland

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Sehr gut!
Alles klar jetzt!
Vielen Dank!

13.08.2016, 21:56

willyengland

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Jetzt muss ich doch noch mal nachhaken:
Habe hier folgende Aufgabe gefunden:

Bestimme den Wert der folgenden Wurzel: $\begin{eqnarray*} \sqrt{(-2)^2} \end{eqnarray*}$
Da könnte man ja dann sagen: Das ist -2.
Aber ist das so überhaupt "erlaubt"?

Dann könnte man ja folgendes rechnen:

$\begin{eqnarray*} -2*\sqrt{3}=\sqrt{(-2)^2*3} \end{eqnarray*}$

Mit den entsprechenden falschen Konsequenzen.

13.08.2016, 22:11

tatmas

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Hallo,

Zitat:

Da könnte man ja dann sagen: Das ist -2.

Ja könnte man, das wäre aber falsch oder zumindest extrem eigenbrötlerisch.

Die Wurzel einer positiven Zahl ist allgemein anerkannt definiert als eine spezielle Zahl, die immer positiv ist. (aller guten Dinge sind drei.)
-2 ist negativ.

Du verwechselst hier scheinbar die glasklare Defintion einer Wurzel mit den Nullstellen (veraltet auch Wurzeln genannt) einer quadratischen Funktion.
X²-4 hat zwei Nullstellen: -2 und 2.
Dagegen ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{4} =2 \end{eqnarray*}$ per Definition.

13.08.2016, 22:15

willyengland

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Ok, aber was ist dann an meiner zweiten Gleichung falsch?

13.08.2016, 22:19

tatmas

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Links steht eine negative Zahl, rechts eine positive.

13.08.2016, 22:31

Dopap

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Potenzregeln gelten nur für positive Basen.

13.08.2016, 22:33

willyengland

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Man darf also eine negative Zahl nicht unter die Wurzel ziehen, sondern muss schreiben:

$\begin{eqnarray*} -2*\sqrt{3}=- \sqrt{2^2*3} \end{eqnarray*}$

13.08.2016, 22:43

tatmas

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Wurzeln von negativen Zahlen sind (im Reellen) nicht definiert.
Eine Termumformung die ein nicht definiertes Objekt erzeugt ist sinnfrei.

13.08.2016, 23:17

Guppi12

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Oder um das Kind nochmal beim Namen zu nennen: $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2} = a \end{eqnarray*}$ ist nicht für alle reellen Zahlen richtig, sondern nur für positive. Für negative $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2} = -a \end{eqnarray*}$ .

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