Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, erwarteter Gewinn

12.08.2016, 11:52

StrunzMagi

Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, erwarteter Gewinn

Bei einem Glücksspiel können Sie eines von drei Losen ziehen( jedes mit der gleichen Wahrscheinlichkeit)
a) Die zugehörigen Gewinne sind 0,1,99 Euro. Wie groß ist der (bei vielen Spielen) erwartete durchschnittliche Gewinn?
b) Ist es sinnvoll, beidem Spiel a) mitzuspielen, wenn der Einsatz (Teilnahmegebührt) 35 Euro ist?

Hallo
Ich dachte an die Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X= \mbox{Auszahlung bei einem Spiel} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X(\Omega)=\{0,1,99\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E(X)=0*1/3+1*1/3+99*1/3=33.33 \end{eqnarray*}$
Aber das ist doch dann nur der erwartende Gewinn pro Spiel bei häufiger Durchführung.

Bei b) ist der Einsatz pro Spiel oder für viele Spiele?
$\begin{eqnarray*} Y= \mbox{ Gewinn = Ausspielung - Einsatz} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Y(\Omega)=\{-35,-34,64\} \end{eqnarray*}$

12.08.2016, 11:58

Helferlein

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Zu a) Nehmen wir mal an Du machst 100 oder 1000 Spiele. Wie hoch ist die Auszahlung pro Spiel? Insgesamt? Im Durchschnitt?

Zu b) Es heisst "bei dem Spiel", also bezieht es sich auf eine Spielrunde.

12.08.2016, 12:10

StrunzMagi

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Hallo,
Dann müsste meine Rechnung bei a) Richtig sein..

Zu b)
$\begin{eqnarray*} Y= \mbox{ Gewinn = Ausspielung - Einsatz} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Y(\Omega)=\{-35,-34,64\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E(Y)=-35*1/3+ (-34)*1/3 + 64*1/3=-1.6 Euro \end{eqnarray*}$

12.08.2016, 12:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von StrunzMagi
Aber das ist doch dann nur der erwartende Gewinn pro Spiel bei häufiger Durchführung.

Es ist die erwartete Auszahlung pro Spiel, Punkt (also ohne deinen Nachsatz).

Nicht Erwartungswert der Zufallsgröße mit dem Mittelwert einer entsprechend obigem Verteilungsgesatz gezogenen Stichprobe verwechseln. Augenzwinkern

12.08.2016, 13:34

mYthos

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Zitat:

Original von StrunzMagi
...
$\begin{eqnarray*} E(Y)=-35*1/3+ (-34)*1/3 + 64*1/3=-1.\color{red}7\color{black} Euro \end{eqnarray*}$

Falsch gerundet! Und besser gleich $\begin{eqnarray*} -1,67 \text{ Eur} \end{eqnarray*}$

12.08.2016, 14:53

StrunzMagi

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von StrunzMagi
Aber das ist doch dann nur der erwartende Gewinn pro Spiel bei häufiger Durchführung.

Nach diesem Post, ist aber meine Rechnung falsch bzw. keine richtige Berechnung zu a).
Die Frage ist wie groß ist der (bei vielen Spielen) erwartete durchschnittliche Gewinn und ich habe den durchschnittliche Gewinn pro Spiel berechnet.
Wie berechne ich dann den durschnittlichnen Gewinn bei vielen Spielen wie in dem Bsp. verlangt?
Wenn ich den Wertebreich der die Zufallsvariable X auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ setze ist es ja auch kein diskrete ZV mehr.

12.08.2016, 16:09

Dopap

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die Auszahlungen und der Einsatz sind aus $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(G) = E(A)-bet =(\tfrac {1}{3}(0+1+99) -35) \in\mathbb Q \end{eqnarray*}$

und alles ist diskret.

12.08.2016, 17:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von StrunzMagi
Nach diesem Post, ist aber meine Rechnung falsch bzw. keine richtige Berechnung zu a).
Die Frage ist wie groß ist der (bei vielen Spielen) erwartete durchschnittliche Gewinn und ich habe den durchschnittliche Gewinn pro Spiel berechnet.
Wie berechne ich dann den durschnittlichnen Gewinn bei vielen Spielen wie in dem Bsp. verlangt?

Hier ist wohl was grundsätzliches zu klären, da bei dir offensichtlich keine klare Vorstellung von den Begriffen vorliegt:

Der durchschnittliche Wert von $\begin{align*} n \end{align*}$ Auszahlungen ist eine Zufallsgröße, sie kann also als Wert nicht berechnet werden, sondern es kann allenfalls eine Verteilung davon angegeben werden. Das Gesetz der großen Zahlen besagt nun, dass für $\begin{align*} n\to\infty \end{align*}$ dieser Durchschnittswert gegen den Erwartungswert der Einzelauszahlung konvergiert. D.h., für "große" n nähert sich der (aber immer noch zufällige!) Durchschnittswert immer mehr dem Erwartungswert (das ist eine Zahl, d.h. nicht zufällig) an. Deswegen ist das, was du wirklich suchst, der Erwartungswert und nicht der (ohne konkretes Stichprobenmaterial gar nicht als Zahl berechenbare) Durchschnittswert. Es steht ja auch in der Aufgabenstellung "erwartete durchschnttliche Auszahlung" (=Erwartungswert der durchschnittlichen Auszahlung), und die ist gleich dem Erwartungswert der Einzelauszahlung, beides wieder Zahlen statt Zufallsgrößen.

Ich habe schon mehrfach im Board bedauert, dass auf diese wichtigen Fragen im Schulunterricht wohl nicht oder nicht ausreichend genau eingegangen wird. Wäre m.E. viel wichtiger, als die Schüler mit statistischen Tests zu traktieren. Augenzwinkern

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