Zufallszahl, die weniger wahrscheinlich ist, desto größer sie ist.

13.08.2016, 06:01

Enomine

Zufallszahl, die weniger wahrscheinlich ist, desto größer sie ist.

Hi,

ich bin Programmierer.
Ich habe mir folgendes Überlegt:
Ich könnte mir eine Zufallszahl generieren. Z.b. im Bereich 1-100. Normalerweise hätte jede Zahl die gleiche Wahrscheinlichkeit. Aber ich könnte durch geschicktes vorgehen die Wahrscheinlichkeit verändern:

Große Zahlen sollen seltener vor kommen, desto größer sie sind.

code:
1: 2: 3: 4:	zufallszahl = generiereZufallsZahlZwischen1Und10000 zufallszahl = zieheDieWurzelAusDerZufallsZahlUndRundeAuf zufallszahl = 100-zufallszahl+1

Der Abstand zwischen Quadratzahlen steigt, je höher die Zahl ist.

Deswegen führt dies in Verbindung mit dem Aufrunden dazu:

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:

100 = 0,01% wahrscheinlich
99 = 0,03% wahrscheinlich
98 = 0,05% wahrscheinlich
...
3 = 1,95% wahrscheinlich
2 = 1,97% wahrscheinlich
1 = 1,99% wahrscheinlich
=================
Summe: 100%

Gibt es dafür eine mathematische Bezeichnung?

Danke - Enomine

13.08.2016, 08:29

HAL 9000

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Nennt sich Inversionsmethode:

Deine gewünschte Wahrscheinlichkeitsverteilung ist $\begin{align*} P(X=k) = \frac{201-2k}{10000} \end{align*}$ für $\begin{align*} k=1,\ldots,100 \end{align*}$ .

Das ergibt aufsummiert als Verteilungsfunktion für $\begin{align*} n=1,\ldots,100:\quad F_X(n) = P(X\leq n) = \sum_{k=1}^n P(X=k) = \frac{201n-n(n+1)}{10000} = 1-\frac{(100-n)^2}{10000} \end{align*}$ .

Die Inversionsmethode macht nun folgendes: Wir generieren eine gleichverteilte Zufallszahl $\begin{align*} u\in (0,1) \end{align*}$ (also das, was die "normalen" Zufallszahlengeneratoren liefern), und berechnen dazu die Zahl

$\begin{align*} F^{-1}(u) &= \inf\left\{ x\in\mathbb{R} \mid F_X(x)\geq u \right\} = \min\left\{ n\in\{1,\ldots,100\} \biggm| 1-\frac{(100-n)^2}{10000}\geq u \right\} = \min\left\{ n\in\{1,\ldots,100\} \mid n\geq 100-\sqrt{10000(1-u)} \right\} = \left\lceil 100-\sqrt{10000(1-u)} \right\rceil\\ &= 100-\left\lfloor\sqrt{10000(1-u)} \right\rfloor = 101-\left\lceil\sqrt{10000(1-u)} \right\rceil \quad \mbox{für fast alle}\; u\in (0,1) . \end{align*}$

Und das ist im Prinzip genau das, was du machst: Denn mit $\begin{align*} u \end{align*}$ ist auch $\begin{align*} 1-u \end{align*}$ stetig gleichverteilt auf $\begin{align*} (0,1) \end{align*}$ , und folglich $\begin{align*} 10000(1-u) \end{align*}$ stetig gleichverteilt auf $\begin{align*} (0,10000) \end{align*}$ .

13.08.2016, 11:57

Dopap

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ich habe immer auf die Schnelle

$\begin{eqnarray*} 1+\rm FLOOR(100(u^2)) \end{eqnarray*}$ verwendet mit $\begin{eqnarray*} \rm u= RAND\in (0,1) \end{eqnarray*}$ gleichverteilt.

Mit dem Exponenten kann man noch variieren.

13.08.2016, 12:40

HAL 9000

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Das simuliert dann aber eine ganz andere Verteilung:

$\begin{align*} P(X=k) = P\left( \left\lfloor 100U^2\right\rfloor = k-1 \right) = P\left( k-1\leq 100U^2 < k \right) = P\left( \frac{\sqrt{k-1}}{10} \leq U < \frac{\sqrt{k}}{10} \right) = \frac{\sqrt{k}-\sqrt{k-1}}{10} \end{align*}$ für $\begin{align*} k=1,2,\ldots,100 \end{align*}$ .

13.08.2016, 13:11

Dopap

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hatte der Fragesteller denn eine bestimmte wunschverteilung verwirrt

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Zufallszahl, die weniger wahrscheinlich ist, desto größer sie ist.

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