GxH ist genau dann abelsch, wenn G und H abelsch sind

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Finnmania Auf diesen Beitrag antworten »
GxH ist genau dann abelsch, wenn G und H abelsch sind
Meine Frage:
G und H seien Gruppen. Zu zeigen ist, dass GxH genau dann abelsch ist, wenn G und H abelsch sind.


Meine Ideen:
Nach Definition ist eine Gruppe G abelsch, wenn gilt, dass gg'=g'g mit g und g' Element von G.

Zu zeigen ist also mit h,h'?H und g,g'?G:
(i) hh'=h'h und gg'=g'g ==> hh'gg'=gg'hh'
(ii) hh'gg'=gg'hh' ==> hh'=h'h und gg'=g'g

Ich habe es bereits mit allen möglichen Umformungen versucht, jedoch komme ich nicht auf die Lösung. Habe ich einen falschen Ansatz?

Vielen Dank schon mal für eure Hilfe!
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zur besseren Übersicht solltest du explizit die Verknüpfungen dazuschreiben, besonders weil du es hier mit drei verschiedenen Verknüpfungen zu tun hast.

Z.B. ; die Verknüpfung auf definiert man dann durch .

Jetzt zum Beweis " abelsch abelsch":
Du willst zeigen, dass für alle gilt:

.

Schreib dir mal auf, was diese Gleichung bedeutet (mit der Definition von ), und dann steht es schon da (wenn du die Kommutativität von und benutzt).
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