Mathematisches Zahlen-Phänomen

15.08.2016, 14:09

RulfusTulfus

Mathematisches Zahlen-Phänomen

Meine Frage:
Hallo!
Folgendes habe ich durch Zufall entdeckt, ich verstehe aber nicht, wieso es so ist, wie es ist. Der Lehrer im Unterricht hatte diese Frage leider nicht ernst genommen.
Man nehme eine beliebige mehrstellige Zahl, sagen wir 7319487. Von dieser subtrahiert man nun die umgedrehte Zahlenfolge: 7319487 - 7849137 = -529650.
Da dieses Ergebnis negativ ist, addiert man diesmal die umgedrehte Zahlenfolge:
-529650 + 056925= -472725. Wieder das gleiche, -472725 + 527274 = 54549. Weiter gehts: 54549 - 94545 = -39996. -39996 + 69993 = 29997 - 79992 = -49995 - 59994 = 9999! Und hier endet das Spielchen, es kommt 0 heraus!
In den allermeisten Fällen kommt dabei irgendwann 0 heraus. Es gibt einige Zahlen, da kommt es zu einem Teufelskreis, allerdings besteht dieser Teufelskreis auch immer aus denselben Zahlen.

Wieso ist das so, falls es bekannt ist, wie heißt dieses Phänomen, und gibt es eine Regel, welche Zahlen zur 0 enden und welche im Teufelskreis stecken bleiben?

Danke!

Meine Ideen:
Ich habe dazu keine Ideen.

15.08.2016, 14:20

IfindU

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RE: Mathematisches Phänomen? Erklärung bitte :)
Ich denke nicht, dass es einen Namen hat. Allgemein kann man eine rekursive Folge $\begin{eqnarray*} a_{n + 1} = f(a_n) \end{eqnarray*}$ . definieren mit $\begin{eqnarray*} f : \mathbb Z \to \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Wenn wir eine Abschätzung der Form $\begin{eqnarray*} |f(x)| \leq |x| \end{eqnarray*}$ haben, so ist die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ irgendwann periodisch. Das liegt einfach daran, dass die Folge nur endlich viele Werte annehmen kann, und kein "Gedächtnis" hat. D.h. irgendwann werden wir eine Zahl zum zweiten Mal treffen müssen, und sobald wir das tun verfolgen wir den gleichen Pfad wie das letzte Mal.

Nun ist deins ein Spezialfall davon, wenn man $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ als Spiegeln und Subtrahieren definiert. Als letzte Anmerkung: Irgendwann 0 zu sein ist nur ein Spezialfall davon periodisch zu sein.

15.08.2016, 14:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von IfindU
Wenn wir eine Abschätzung der Form $\begin{eqnarray*} |f(x)| \leq |x| \end{eqnarray*}$ haben, so ist die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ irgendwann periodisch.

Hmm, $\begin{align*} |f(x)| \leq |x| \end{align*}$ stimmt hier aber nicht, wohl aber

$\begin{align*} g(f(x)) \leq g(x) \end{align*}$ .

mit einer geeignet gewählten Funktion $\begin{align*} g(x)\geq |x| \end{align*}$ , nämlich $\begin{align*} g(x) = \begin{cases} 0 &\;\mbox{für}\;x=0\\ 10^{\left\lfloor \lg|x| \right\rfloor+1}-1 &\mbox{sonst}\end{cases} \end{align*}$
(zu gut deutsch: $\begin{align*} g(x) \end{align*}$ ist 999...99 mit der gleichen Dezimalstellenzahl wie $\begin{align*} x \end{align*}$ ). Was ebenfalls für die Periodizität der Folge $\begin{align*} a_n \end{align*}$ reichen dürfte. Augenzwinkern