Geometrieaufgabe Matheplanet

16.08.2016, 10:02

willyengland

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Geometrieaufgabe Matheplanet

Ich möchte kurz auf eine, wie ich finde, sehr schöne Geometrieaufgabe auf dem Matheplaneten hinweisen.
Wir haben hier ja einige Spezies, die sich für sowas interessieren:

http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/...hp?topic=221784

Falls sich jemand langweilen sollte ... smile

smile

16.08.2016, 11:04

Dopap

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unten links zwischen Koordinatenachsen, Gerade und Kreis befindet ich noch eine kleine Fläche A1.
Nimmt man die hinzu, dann ist diese Gesamtfläche nicht schwierig.
Schwierig ist A1 solo.

wer ein Rätsel einstellt, sollte die Lösung aber kennen.

16.08.2016, 11:10

Mathema

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Das ist doch nicht wirklich schwierig, oder übersehe ich etwas? verwirrt

verwirrt

Würde mal die Lösung $\begin{eqnarray*} a^2(\frac{7}{8}-\frac{7}{32}\pi) \end{eqnarray*}$ bieten.

16.08.2016, 11:51

willyengland

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Ich wollte nur auf das Rätsel hinweisen!

16.08.2016, 11:59

HAL 9000

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@Mathema

Angesichts dessen, dass der Schnittpunkt der Diagonalen mit dem linken Kreis der Punkt $\begin{align*} \left(\frac{a}{5},\frac{a}{10}\right) \end{align*}$ ist (Koordinatenursprung naheliegenderweise linke untere Rechteckecke), ist der dadurch definierte Sektorwinkel im linken Kreis gleich $\begin{align*} \arcsin\left(\frac{3}{5}\right) \end{align*}$ , das ist kein rationales Vielfaches von $\begin{align*} \pi \end{align*}$ . Insofern wundert mich dein Flächenwert...

16.08.2016, 12:11

Mathema

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Danke HAL - ich sehe mein Fehler schon. Muss nur mal gucken, wie (und ob) sich das leicht reparieren lässt.

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16.08.2016, 12:40

willyengland

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Für die kleine Fläche unten links habe ich 2,02 herausbekommen.
Allerdings eher Brute-force Methode.
Ich habe alle anderen Flächen berechnet, bis die kleine übrig blieb. smile

smile

16.08.2016, 13:51

Dopap

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es sollten schon exakte werte sein. Lehrer

Lehrer

16.08.2016, 14:10

willyengland

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Zitat:

Original von Dopap
es sollten schon exakte werte sein. Lehrer

Lehrer

Alter Grantler! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich bin froh überhaupt einen Ansatz gefunden zu haben ...
So habe ich es gemacht:

Die Flächen der Dreiecke (2x rot, 1x grün, 1x blau) sind exakt: 3 * 12,5 + 4,5 = 42
Zu bestimmen verbleibt der Kreisabschnitt unter dem blauen Dreieck:

mit r = 5 und 73,74° ergibt sich: A(Kreisabschnitt) = 3,956...

Gesamtsumme der Flächen: Ages = 42 + 3,956 = 45,956

Fläche Rechteck abzgl. Ages = 50 – 45,956 = 4,044

Diese Fläche muss noch halbiert werden, also A = 2,022
(Das ist die Fläche des kleinen Stücks unten links.)

16.08.2016, 14:19

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Dopap
es sollten schon exakte werte sein. Lehrer

Lehrer

Und vor allem sollte das Ergebnis von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ abhängen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich komme auf $\begin{eqnarray*} a^2\cdot \left(\frac{9}{10}-\frac{\pi}{4}-\frac{1}{8}\cdot \arcsin\left(\frac{3}{5}\right)\right) \end{eqnarray*}$ .
(Aber wirklich schön ist mein Lösungsweg nicht. verwirrt

verwirrt

)

16.08.2016, 14:24

Guppi12

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Ich komme auf das selbe Ergebnis wie Nick. Rechenweg ist bei mir einfach rohe Integralrechnung.
Würde ich auch nicht gerade als schön bezeichnen. Geometrie kann ich nicht, deswegen scheidet ein geometrischer Weg aus Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit: Ne, doch nicht, ich habe ein + statt einem - bei dem Arcsin, das deckt sich dann auch mit dem Ergebnis von Mathema.

16.08.2016, 14:36

Mathema

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Naja - mit exakten Werten sieht es nicht so hübsch bei mir nun aus:

$\begin{eqnarray*} a^2\left(1-\frac{5}{16}\pi+\frac{\pi}{4}\cdot\frac{\arccos(-\tfrac{3}{5})}{360°}-\frac{1}{10}\sqrt{5}\sin(\frac{180°-\arccos(-\tfrac{3}{5})}{2})\right)\approx 0.1950394752a^2 \end{eqnarray*}$

16.08.2016, 14:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Ich komme auf $\begin{eqnarray*} a^2\cdot \left(\frac{9}{10}-\frac{\pi}{4}-\frac{1}{8}\cdot \arcsin\left(\frac{3}{5}\right)\right) \end{eqnarray*}$ .

Ich komme fast auf dasselbe - nur ein Vorzeichen ist anders (ich nehme an, das ist bei Nick nur irgendwo verlorengegangen):

$\begin{align*} a^2\cdot \left(\frac{9}{10}-\frac{\pi}{4}{\color{red}+}\frac{1}{8}\cdot \arcsin\left(\frac{3}{5}\right)\right) \approx 0.19504a^2 \end{align*}$ ,

scheint mit dem von Mathema übereinzustimmen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn das eine Rechenaufgabe aus dem ganz normalen Schulunterricht für 12jährige in China ist, dann können wir uns aber warm anziehen. Ehrlich gesagt glaube ich das aber nicht: Klassenstufe 6 bedeutet dort wahrscheinlich was anderes (also irgendeine gymnasiale Zählweise o.ä.).

EDIT: Upps, wer lesen kann ist klar im Vorteil - lese den Beitrag von Guppi12 erst jetzt. Damit war mein Post wohl überflüssig. traurig

traurig

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Zur kleinen Fläche links unten: Die ist

$\begin{align*} \left(\frac{1}{10} - \frac{1}{8}\arcsin\left(\frac{3}{5}\right)\right)a^2 \approx 0.01956a^2 \end{align*}$

für $\begin{align*} a=10 \end{align*}$ also ungefähr 1.956, da sind die 2.022 von willyengland doch arg weit entfernt - zu weit, wenn man schon drei Nachkommastellen angibt.

16.08.2016, 15:04

Guppi12

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@Mathema:

Das kann man noch vereinfachen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zum Beispiel ist $\begin{eqnarray*} \sin(\frac{180^\circ-\arccos(-\frac 35)}{2}) = \sqrt{\sin^2(\frac{180^\circ-\arccos(-\frac 35)}{2})} = \sqrt{\frac{1}{2}(1-\cos(180^\circ-\arccos(-\frac 35))} = \sqrt{\frac{1}{2}(1+\cos(\arccos(-\frac 35))} = \sqrt{\frac{1}{5}} \end{eqnarray*}$ .

Damit hast du dann ein ähnlich "einfaches" Ergebnis wie Nick, Hal und ich.

16.08.2016, 15:06

10001000Nick1

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Ja, das soll natürlich ein + sein. In der vorletzten Zeile meiner Rechnung hat es noch gestimmt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und ich habe es wie Guppi über Integralrechung gelöst.

16.08.2016, 15:13

HAL 9000

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Da bin ich doch eher konventionell rangegangen, was die kleine Fläche links unten betrifft:

Rechtwinkliges Dreieck + Trapez - Kreissektor

Ein bisschen Pythagoras, um den o.g. Schnittpunkt zu berechnen, und dann noch ein bisschen Trigonometrie für den Sektorwinkel, das war's.

16.08.2016, 15:19

willyengland

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Zitat:

Original von HAL 9000
Zur kleinen Fläche links unten: Die ist
$\begin{align*} \left(\frac{1}{10} - \frac{1}{8}\arcsin\left(\frac{3}{5}\right)\right)a^2 \approx 0.01956a^2 \end{align*}$

für $\begin{align*} a=10 \end{align*}$ also ungefähr 1.956, da sind die 2.022 von willyengland doch arg weit entfernt - zu weit, wenn man schon drei Nachkommastellen angibt.

Ich habe ja oben meinen Rechenweg angegeben.
Wo ist da der Fehler?

16.08.2016, 15:24

Steffen Bühler

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Und Willys Abweichung erklärt sich wohl mit dem kleinen Rundungsfehler

Zitat:

Original von willyengland
mit r = 5 und 73,74° ergibt sich: A(Kreisabschnitt) = 3,956...

bei dem korrekterweise 4,0875... rauskommen sollte.

Viele Grüße
Steffen

16.08.2016, 16:06

willyengland

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Ja, stimmt!

Erschreckend, wie schnell das ungenau wird!

Habs jetzt auch: 1,956

Bzw. die rote Fläche wäre dann 19,5.

EDIT:
Und hier meine Formel für das kleine Stück unten links:

$\begin{eqnarray*} A=a^2 *[ \frac{1}{25} -\frac{1}{16} *(\alpha-sin\alpha)] \end{eqnarray*}$

16.08.2016, 19:41

Dopap

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und warum ist die Rechnung der Gesamtfläche (incl. A1) einfacher als A1 solo ?

bem: beim überfliegen irgendeiner lösung hatte ich diesen enidruck

16.08.2016, 19:48

HAL 9000

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Mit "Gesamtfläche" war da die gesamte rote Fläche plus A1 gemeint. Und das ist einfach $\begin{align*} a^2-\frac{\pi}{4}a^2\approx 0.2146a^2 \end{align*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.08.2016, 12:31

mYthos

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Rätsel ist das keines! Ich verschiebe das einfach mal in die Geometrie!

*** verschoben ***

mY+

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