Basiswechselmatrix

18.08.2016, 19:24

balance

Basiswechselmatrix

Hallo,

Einmal mehr ein grundlegendes Thema - habe mich ewigs nicht damit beschäftigt. Ich möchte das Thema hier kurz erarbeiten - bitte kritisch bewerten.

Sei $\begin{eqnarray*} V\subset \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ hier ein reeller Vektorraum mit den beiden Basen:

$\begin{eqnarray*} B=(b_1,b_2)=( (1,0), (0,1) ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A=(a_1,a_2)=( (3,2), (2,0) ) \end{eqnarray*}$

Anmerkung 1: Durch die Wahl einer Basis "erstellen" wir den diesbezüglichen Koordinatenraum.

Wir wählen: $\begin{eqnarray*} v=v_B=(2,3) \end{eqnarray*}$ [das 1. Gleichheitszeichen gilt nach Konvention, oder?]

Wir wollen nun den Vektor $\begin{eqnarray*} v_B \end{eqnarray*}$ in der Basis $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ darstellen. [Geometrische Intepretation: Wir stauchen, zerren etc. die Achsen, so dass sie $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ "entsprechen"]

Wir wissen, dass die Komponenten die Koeffizienten unserer Basisvektoren sind, also:

$\begin{eqnarray*} v_B=(2,3)=2\cdot b_1 + 3\cdot b_2 \end{eqnarray*}$

Es ist daher einfach zu sehen, dass für $\begin{eqnarray*} v_A \end{eqnarray*}$ folgendes gelten muss:

$\begin{eqnarray*} v_A=\alpha\cdot a_1 + \beta \cdot a_2 = \alpha\cdot (3,2) + \beta \cdot (2,0) = (2,3) \end{eqnarray*}$

Dies ist ein Lineares Gleichungssystem mit der Lösung: $\begin{eqnarray*} \alpha = \frac{3}{2}, \beta=\frac{-5}{4} \end{eqnarray*}$

Wir sehen also: $\begin{eqnarray*} v_A=(\frac{3}{2},\frac{5}{4}) \end{eqnarray*}$

Dieses stauchen, verzerren etc. der Achsen [mal bildlich gesprochen] scheint eine Abbildung zu sein. Da unser LGS linear war, liegt es nahe eine lineare Abbildung - und somit eine Abbildungsmatrix - für diesen Basiswechsel zu finden.

Sei also $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^2 \to \mathbb R^2, Ax_B\to x_A \end{eqnarray*}$ unsere Transformationsabbildung. Wir wissen, dass die Bilder der Basisvektoren unserer Definitionsmenge, die Spalten der Abbildungsmatrix sind.

Unsere Definitionsmenge hat also die Basis B, unsere Zielmenge die Basis A. Daraus bekommen wir:

$\begin{eqnarray*} b_1: (1,0)=\alpha_1(3,2)+\beta_1(2,0) \Rightarrow \alpha_1 = 0, \beta_1=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_2: (0,1)=\alpha_2(3,2)+\beta_2(2,0)\Rightarrow \alpha_2=\frac{1}{2}, \beta_2=\frac{-3}{4} \end{eqnarray*}$

Wir bekommen also:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}0&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{-3}{4}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Probe: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{-3}{4}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\\ \frac{-5}{4}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Scheint also zu stimmen. Wenn wir nun einen Vektor zur Basis A gegeben haben und ihn zur Basis B bestimmen wollen, ist es offensichtlich, dass wir einfach die Umkehrabbildung benutzen. Sprich, man würde A invertieren.

Ich denke also, das Prinzip verstehe ich.

Im Buch "Repetitorium der Linearen Algebra" hat es etwas, was sie Transformationsformel nennen. Die erschliesst sich mir nicht so ganz. Ich zitiere:

$\begin{eqnarray*} \phi_A : \mathbb R^n \to \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ sei lienare Abbildung, $\begin{eqnarray*} B=(B_1,..,B_n) \end{eqnarray*}$ eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ die daraus gebildete Matrix $\begin{eqnarray*} B(B_1|...|B_n) \end{eqnarray*}$ . Es gilt:

$\begin{eqnarray*} M_B(\phi_A)=B^{-1}AB \end{eqnarray*}$

[Die Gedanken wurden und der letzte Absatz widersprechen sich :p da eventuelle teilweise Erkentniss während dem Schreiben]
Nun... phi ist ja hier einfach eine lineare Abbildung von einem Vektorraum zur Basis B in einen Vektorraum zur Basis B. Die Matrix B ist ja einfach die Abbildungsmatrix für diese Abbildung. Durch den Text vorher, denke ich, dass mit $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ die eine Abbildungsmatrix gemeint ist. Wir bilden also diese Abbildungsmatrix mittels phi ab $\begin{eqnarray*} (AB) \end{eqnarray*}$ , stellen also $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und somit zur Basis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ dar. Wir befinden uns nun im Bild von der Abbildung.

Unser Ziel ist aber, eine Matrix zu finden, in welche wir einen Vektor "stopfen" können, so dass wir den gleichen Vektor bekommen würden, wie wenn wir ihn mittels $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ abbilden würden. Also müssen wir die zuerst in den Definitionsraum wechseln: Daher $\begin{eqnarray*} B^{-1} \end{eqnarray*}$ , korrekt?

Meine Verwirrung kommt daher, ob den nun $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ die Abbildungsmatrix von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist bzw. was genau die jeweiligen Matrizen hier beschreiben. Ich meine, wenn ich einen Vektorraum zur Basis B habe, dann ist für die identische Abbildung die Matrix B die Abbildungsmatrix - hier aber ist eine allg. Abbildung gegeben, sprich: B kann nicht die Abbildungsmatrix sein, also ist es wohl A. Aber was ist dann die Matrix B?

Frage: Kann mir jemand die Transformationsformel - also die Motivation dafür - mal erläutern?

Eine andere Frage ist, wie ich das den effizienter mache. Wenn ich z.B. Polynomräume habe und 2 Basen und eine Basiswechselmatrix finden muss, wie machen ich das? ALso ich kanns, es stimmte jedenfalls bis jetzt - jedoch habe ich es immer wie oben gemacht: Einfach stur die LGS gelöst. [Bin gerade zu müde um noch mehr nachzudenken :p aber ich schau mal ob mir morgend/übermorgen auch selbst noch was einfällt/finde]

28.08.2016, 11:56

Euklid93

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RE: Basiswechselmatrix
Hallo balance!

Zitat:

Original von balance

Wir wählen: $\begin{eqnarray*} v=v_B=(2,3) \end{eqnarray*}$ [das 1. Gleichheitszeichen gilt nach Konvention, oder?]

Ich würde statt $\begin{eqnarray*} v_B \end{eqnarray*}$ eher $\begin{eqnarray*} x_B(v) \end{eqnarray*}$ schreiben, aber das ist sicherlich Definitions, Konventions- und Geschmacksache.

Zitat:

Original von balance

Sei also $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^2 \to \mathbb R^2, Ax_B\to x_A \end{eqnarray*}$ unsere Transformationsabbildung.

Du wolltest, dass ich kritisch bin, da hast du es: $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ würde ich die Matrix definitiv nicht nennen. Diese Matrix ist die Basiswechselmatrix bezüglich der Basen $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ der Identitätsabbildung, man notiert sie gerne als $\begin{eqnarray*} M_{AB}(\mathrm{id}_{\mathbb{R}^2}) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von balance
Die Matrix B ist ja einfach die Abbildungsmatrix für diese Abbildung.

DIE Abbildungsmatrix gibt es nicht. Es gibt lediglich Abbildungsmatrizen bezüglich zweier Basen. Schreibt man die Basis $\begin{eqnarray*} (B_1,\ldots, B_n) \end{eqnarray*}$ in Spalten, so ergibt sich die Basiswechselmatrix (bzw. Abbildungsmatrix bezüglich der Identitätsabbildung) bezüglich der Standardbasis und $\begin{eqnarray*} (B_1,\ldots, B_n) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von balance

Frage: Kann mir jemand die Transformationsformel - also die Motivation dafür - mal erläutern?

Die Motivation ist die folgende: Wir wissen, wie die Basiswechselmatrix bezüglich der Identität aussieht - das sind einfach die Koordinatenwechsel, wie du sie oben richtig gemacht hast. Eine Abbildung kann man bezüglich EINER Basis durch eine Matrix darstellen. Um nun diese Abbildung bezüglich einer anderen, beliebigen Basis darzustellen, geht man wie folgt vor: Jedem neuen Basisvektor ordnet man zunächst mal die Entwicklung in den alten Basisvektoren zu (das ist die Inverse das Basiswrchselmatrix). Anschließend bildet man ab (Die Abbildung ist ja bezüglich der "alten" Basis bekannt) und als letztes geht man eben wieder in die neue Basis über.

Zitat:

Original von balance
Eine andere Frage ist, wie ich das den effizienter mache. Wenn ich z.B. Polynomräume habe und 2 Basen und eine Basiswechselmatrix finden muss, wie machen ich das? ALso ich kanns, es stimmte jedenfalls bis jetzt - jedoch habe ich es immer wie oben gemacht: Einfach stur die LGS gelöst. [Bin gerade zu müde um noch mehr nachzudenken :p aber ich schau mal ob mir morgend/übermorgen auch selbst noch was einfällt/finde]

So richtig effizient geht das eben (meiner Meinung nach) nicht. Da muss man durch, aber wenn man es einmal raus hat, ist es nicht so schlimm :-). Ich hoffe ich konnte helfen.

Euklid93

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