Schnittgerade zweier Ebenen

19.08.2016, 08:21

Das_asdf_Wort

Schnittgerade zweier Ebenen

Hi alle

Ich habe den Sachverhalt grob skizziert und als Bild angefügt.

Ich soll die Schnittgerade zweier Ebenen bestimmen und sie in einer Parameterform angeben.

Ich habe jeweils A und B als Stützvektor genommen und die Gleichung für die Parameterform aufgestellt.

E1 = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s*\begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + t*\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

E2 = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} + u*\begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + v*\begin{pmatrix} 0 \\ -5 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:

(I) 5 - 5s = 5 - 5u
(II) 5t =5 - 5v
(III) 5s + 5t = 5u + 5v

Wenn ich (II) + (III) addiere und dann (II+III) + (I) addiere, schaffe ich es nach t und v auf zu lösen. Die sind beide 1/2.

Ich schaffe es aus der Gleichung nicht, entweder u oder s. durch v oder t aus zu drücken, weil sich zu viel weg kürzt.
Aus der Zeichnung kann man die Gleichung für die Schnittgerade zwar ablesen, ich wollte es dennoch algebraisch meistern.

Wenn ich nun in E1 für t = 1/2 einsete, erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s*\begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + 1/2*\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ergibt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 10 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} + s*\begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die lösung sollte sein:

$\begin{eqnarray*} 1/2*\begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 5 \end{pmatrix} + t*\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wo liegt mein Fehler?

19.08.2016, 10:31

Huggy

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RE: Schnittgerade zweier Ebenen

Zitat:

Original von Das_asdf_Wort
Wenn ich nun in E1 für t = 1/2 einsete, erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s*\begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + 1/2*\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist richtig. Aber das folgende stimmt nicht:

Zitat:

ergibt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 10 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} + s*\begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\frac {1}{2}\begin{pmatrix} 10 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} + s*\begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}=\frac {1}{2}\begin{pmatrix} 10 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} + \hat s*\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \hat s \end{eqnarray*}$ kann man in $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ umbenennen.

Zitat:

Die lösung sollte sein:

$\begin{eqnarray*} 1/2*\begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 5 \end{pmatrix} + t*\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das wiederum stimmt nicht. Vielleicht ist es nur ein Zahlendreher im Stützvektor.

19.08.2016, 10:57

Das_asdf_Wort

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Hallo

Danke für die rasche Antwort.

Zitat:

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\frac {1}{2}\begin{pmatrix} 10 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} + s*\begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}=\frac {1}{2}\begin{pmatrix} 10 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} + \hat s*\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kannst du mir nur den Zwischenschritt erklären, wieso aus $\begin{eqnarray*} s*\begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
das folgende wird? $\begin{eqnarray*} s*\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

19.08.2016, 11:28

Huggy

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Man kann aus dem Richtungsvektor den Faktor 5 herausziehen. Danach steht vor dem Richtungsvektor der Faktor $\begin{eqnarray*} 5\cdot s \end{eqnarray*}$ . Diesem Faktor $\begin{eqnarray*} 5 \cdot s \end{eqnarray*}$ kann man einen neuen Namen geben. Ich habe $\begin{eqnarray*} \hat s \end{eqnarray*}$ gewählt. Solange man die Schnittgerade für sich allein betrachtet, kann man ihn auch $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ nennen. In Verbindung mit den beiden Ebenen kann das aber Verwirrung geben, da dort ja $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ auch schon als Parameter verwendet wurde.

19.08.2016, 12:52

Das_asdf_Wort

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Super danke

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