Betrags-Ungleichungen

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willyengland Auf diesen Beitrag antworten »
Betrags-Ungleichungen
Ich habe immer wieder Probleme mit Betrags-Ungleichungen:

Bei einigen Gleichungen kann man die Fallunterscheidung so machen, dass man für x > 0 die Betragsstriche einfach weglässt und dann auflöst. Das geht aber nicht immer.

z.B. |x + 4| < |3 – 2x|

Wie geht man da grundsätzlich systematisch vor?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Betrags-Ungleichungen
Hier kannst du durchaus auch eine Fallunterscheidung machen. Allerdings benötigst du 3 Fälle. Oder du quadrierst einfach die Ungleichung. smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von willyengland
dass man für x > 0 die Betragsstriche einfach weglässt

Nicht ist das Kriterium für das Weglassen der Betragsstriche, sondern (bzw. es reicht auch ), wobei der Funktionsterm ist, der zwischen den Betragsstrichen steht!

Im vorliegenden Fall: Es ist , sofern gilt, und im anderen Fall ist dann .
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie rechne ich dann konkret weiter?

Also x + 4 > 0, ich lasse die Betragsstriche weg.
Was mache ich rechts? Ich lasse die Betragsstriche auch weg?
Geht nicht, da dann x < -1/3 rauskommt, (negativ).
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Du mußt dir erst mal die Nullstellen der Betrags-Terme anschauen. An diesen Stellen passiert etwas. Mittels der Nullstellen kannst du die Intervalle festlegen, die in den jeweiligen Fällen (ich nannte 3) zu betrachten sind.
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Die Nullstellen sind -4 und +1,5.
Damit hat man drei Intervalle, ok. Und nun?

Sagen wir, ich betrachte zuerst x < -4.
Dann ist der linke Term -(x+4)?
Muss ich dann auch das Ungleichheitszeichen umkehren?

Ich verstehe die generelle Vorgehensweise nicht.
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Die generelle Vorgehensweise ist, daß man irgendwie die Betragsstriche loswerden muß. Das kann man mittels der Definition des Betrages machen, indem man die Fälle betrachtet, wo der Term zwischen den Betragsstrichen negativ bzw. nicht-negativ ist.

Den ersten Fall hast du korrekt festgelegt: x < -4
In diesem Fall ist |x + 4| = -(x+4) . Jetzt mußt du noch schauen, was mit |3 – 2x| passiert.
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Das bleibt positiv, kann ich also so lassen.
Was ist mit dem Ungleichheitszeichen?

Schreib doch bitte mal auf, wie du das jetzt machen würdest!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von willyengland
Was ist mit dem Ungleichheitszeichen?

Das Ungleichheitszeichen wird nicht angerührt. solange nur die Terme (je nach Fall) in der Ungleichung umgeschrieben werden! Änderungen des Ungleichheitszeichen passieren allenfalls dann, wenn bestimmte Operationen auf die Ungleichung angewandt werden, wie z.B. die Multiplikation mit einer negativen Zahl.
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, und genau das verstehe ich nicht.
Ich multipliziere doch links mit -1, oder nicht?

x < -4:
-(x+4) < 3 – 2x
-x – 4 < 3 – 2x
x < 7

Was sagt das jetzt aus? Das ist doch nicht richtig.

Schreibt mir doch bitte mal das genaue Vorgehen auf!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von willyengland
Ich multipliziere doch links mit -1, oder nicht?

Nein!!! Forum Kloppe

Es ist für , da wird doch nicht der Term |x+4| multipliziert: ist lediglich die Darstellungsform von im Fall .

Anscheinend verwechselst du die Multiplikation mit einer Multiplikation , die hier aber nicht stattfindet. unglücklich


Zitat:
Original von willyengland
x < 7

Was sagt das jetzt aus? Das ist doch nicht richtig.

Das sagt dir aus, dass in diesem Unterfall die Umformung der Ungleichung ergibt. Kombiniert mit der Fallbedingung ergibt sich die Lösungsmenge der Ungleichung in diesem Unterfall:

Da ja automatisch für alle gilt, ist der gesamte Unterfallbereich Lösung, d.h., Lösungsmenge .
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Ich betrachte alle 3 Fälle:

1. x < -4:
-(x+4) < 3 – 2x
-x – 4 < 3 – 2x
x < 7 => x < -4, weil Bedingung.

2. -4 < x < 1,5
x + 4 < 3 – 2x
3x < -1
x < -1/3

3. x > 1,5
x + 4 < -(3 - 2x)
x + 4 < 2x – 3
-x < -7 | *(-1), Zeichenumkehr!
x > 7

Also insgesamt: -1/3 > x > 7.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von willyengland
2. -4 < x < 1,5

Besser (wegen der Vollständigkeit): 2. -4= < x < 1,5

Zitat:
Original von willyengland
3. x > 1,5

Besser (wegen der Vollständigkeit): 3. x >= 1,5

Zitat:
Original von willyengland
x + 4 < 2x – 3
-x < -7 | *(-1), Zeichenumkehr!

Einfacher: addiere in der oberen Gleichung eine 3 und subtrahiere ein x. smile

Zitat:
Original von willyengland
Also insgesamt: -1/3 > x > 7.

Ähh, wieso dieses? verwirrt Laut der Ungleichungskette wäre dann -1/3 > 7. Big Laugh
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Einfacher: addiere in der oberen Gleichung eine 3 und subtrahiere ein x. smile

Stimmt!

Zitat:
Original von willyengland
Also insgesamt: -1/3 > x > 7.


Damit meinte ich: Entweder x < -1/3 oder x > 7 erfüllt die Ungleichung.
Wie schreibt man das richtig?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Ungleichungskette bedeutet immer, dass alle Ungleichungen zugleich erfüllt sein müssen (logisches UND).

Hier aber ist gemeint, dass eine Lösung ODER erfüllen muss. Als Lösungsmenge geschrieben wird daraus eine Vereinigung der Teillösungsmengen, d.h. .
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Damit wären ja -1/3 und 7 in der Lösungsmenge enthalten.
Richtiger wäre doch: x < -1/3 oder x > 7 zu schreiben.


Und dann noch hierzu eine Frage:
Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
2. -4 < x < 1,5

Besser (wegen der Vollständigkeit): 2. -4= < x < 1,5

Wie wirkt sich das = < denn im Folgenden aus?
x =< -1/3 ist ja falsch.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von willyengland
Damit wären ja -1/3 und 7 in der Lösungsmenge enthalten.
Richtiger wäre doch: x < -1/3 oder x > 7 zu schreiben.

Du mußt die Ergebnisse aus den 3 Fällen schon etwas genauer zusammensetzen. Wir erhalten aus:
Fall 1: x < -4
Fall 2: -4 <= x < -1/3
Fall 3: x > 7

Die Einzellösungsmengen (bzw. Intervalle) kannst du nun per Vereinigung zu einer Gesamtlösungsmenge zusammenstöpseln.

Zitat:
Original von willyengland
Und dann noch hierzu eine Frage:
Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
2. -4 < x < 1,5

Besser (wegen der Vollständigkeit): 2. -4= < x < 1,5

Wie wirkt sich das = < denn im Folgenden aus?
x =< -1/3 ist ja falsch.

Auf die Lösung der Ungleichung erst mal nicht, aber auf die Lösungsmenge schon (siehe Fall 2).
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die Einzellösungsmengen (bzw. Intervalle) kannst du nun per Vereinigung zu einer Gesamtlösungsmenge zusammenstöpseln.

Ja, aber HAL schrieb ja:
Zitat:
Original von HAL 9000
Als Lösungsmenge geschrieben wird daraus eine Vereinigung der Teillösungsmengen, d.h. .

Damit wären ja -1/3 und 7 in der Lösungsmenge enthalten.
Richtiger wäre doch: x < -1/3 oder x > 7 zu schreiben.
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

HAL hat nicht umsonst eine runde Klammer gesetzt. unglücklich
Informiere dich bitte über Intervallschreibweise!
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke!
Das ist aber eine sehr unintuitive Schreibweise!

Belassen wir es mal dabei.
Für diese Aufgabe habe ich es jetzt verstanden.
Mal sehen, was noch kommt ...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von willyengland
Das ist aber eine sehr unintuitive Schreibweise!

Du kannst ja für dich selbst das auch akzeptierte verwenden, solltest aber in der Lage sein, bei der anderen Schreibweise nicht gleich rumzuzetern - sie ist nun mal so eingeführt, und das wirst weder du noch ich ändern können. Augenzwinkern
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz herzlichen Dank erst noch mal für die Hilfe bis hierher!

So, die nächste Aufgabe ging dann gut.

Doch schon die übernächste hat wieder ein Problem:



Hier habe ich keine Nullstelle, sondern einen Pol bei -1.
Wie differenziere ich denn hier? Links und rechts vom Pol?

Ich bekomme dann n > 401 und n < -401.
Was mich ein wenig wundert, denn die Funktion ist ja nicht symmetrisch um Null sondern um -1.
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Wo ist denn das Problem?

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von willyengland
Ich bekomme dann n > 401 und n < -401.

Richtig ist n > 399 sowie n < -401.
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

EDIT: Ah, ich habs. Danke!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von willyengland
Ich bekomme dann n > 401 und n < -401.

Richtig ist n > 399 sowie n < -401.

Die Ungleichung dient vermutlich zur Vorbereitung der Grenzwertdefinition von Folgen. Insofern kommen für n nur natürliche Zahlen in Frage. smile
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht weiter: Augenzwinkern

Schreiben Sie die folgende Ungleichung ohne Betragsstriche: |x - 3| > 5

Dazu habe ich mir folgendes gedacht.
Es muss ja erfüllt sein:
-x + 3 > 5 für x < 3 => x < -2
+x - 3 > 5 für x > 3 => x > 8

D.h. für negative x muss die obere Gleichung gelten, für positive x die untere.
Das könnte man so hinkriegen:



Kann man das so machen?
Lösung habe ich leider keine, darum weiß ich auch nicht, ob das überhaupt so gemeint ist.
Evtl. hätte ja auch die abschnittsweise Definition oben gereicht.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von willyengland


Kann man das so machen?

Beide Ungleichungen haben dieselbe Lösungsmenge ja. Etwas ärgerlich an deiner Darstellung ist, dass der Definitionsbereich der Ungleichung(sterme) nicht die 0 umfasst, was beim Original noch der Fall war.

Ich würde eher die Umformung bzw. dann umgeformt wählen.
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Ich würde eher die Umformung bzw. dann umgeformt wählen.


Genial einfach!
Man muss nur drauf kommen! Freude
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht eine kleine Anmerkung, dass deine Umschreibung sicher nicht gewollt war. Da , hättest du den Betrag nur durch ersetzen können.
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, stimmt.
Was ich gemacht habe ist in gewisser Weise nur eine andere Schreibweise für die Betragsstriche.
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