Wird die Fehlerschranke beim Newton-Verfahren immer erreicht |
| 19.08.2016, 16:20 | AnnaNatascha | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Wird die Fehlerschranke beim Newton-Verfahren immer erreicht Hallo zusammen, ich hoffe ihr könnt mir diesmal weiterhelfen. Ich befasse mich gerade mit der Frage: "Wird die Fehlerschranke beim Newton-Verfahren immer erreicht?" Meine Ideen: Ich würde hier klar mit "nein" antworten. Das Newton Verfahren ist doch nur LOKAL quadratisch konvergent. D.h. wenn ich einen "ungünstigen" Startwert wähle, dann erhalte ich keine Konvergenz und demnach muss meine Fehlerschranke auch nicht erreicht werden. Das wäre mein erster Gedanke gewesen. In einem Protokoll einer Prüfung habe ich die Frage mit folgender Antwort gefunden: "Rundungsfehler". Jetzt stellt sich mir die Frage, gibt es verschiedene Gründe, warum die Fehlerschranke nicht erreicht wird? Stimmt das mit den Rundungsfehlern? (Mir fällt kein Beispiel ein) Habt ihr sonst noch eine Idee? Vielen lieben Dank schon einmal für jeden Hinweis! |
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| 19.08.2016, 22:28 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ein Extrem- oder ein Wendpunkt, der in der Nähe der Nullstelle liegt, kann die Konvergenz des Newtonverfahrens unmöglich machen. Rundungsfehler können ebenfalls die Annäherung an die Nullstelle verhindern bzw. verzögern. Das passiert, wenn man mit zu wenig Dezimalstellen rechnet. Deshalb sollte die Iteration mit mindestens so vielen bzw. sogar mehr Dezimalstellen durchgeführt werden, wodurch auch die Fehlergröße bezeichnet wird, runden wird man ohnehin immer erst zum Schluss. In einem CAS wird die Rechnung auch dadurch erleichtert, wenn an Stelle des Differentialquotienten der Differenzenquotient mit einer relativ kleinen x-Differenz (h) verwendet wird. Diese Größe ist unkritisch und hängt nicht von der Fehlergrenze ab, sie kann im Bereich von bis liegen. Man muss also die Ableitung nicht einmal kennen. Dies ist naturgemäß bei Funktionen mit komplizierter Ableitung von Vorteil. Hier ein Beispiel bei einem Polynom 7. Grades, berechnet in Excel (h = 0,00001, bei 3. Iteration ist der Fehler im bereits - Bereich, daher ist das Ergebnis bis zur 10. Dezimalen genau) [attach]42495[/attach] Auf die Vorschau klicken. mY+ |
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| 20.08.2016, 11:36 | AnnaNatascha | Auf diesen Beitrag antworten » |
Super, vielen lieben Dank für die ausführliche Antwort mit dem Beispiel, das hat mir sehr weitergholfen! 
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