Karten & Atlas zeigen

21.08.2016, 18:43

Analytiker2016

Karten & Atlas zeigen

Meine Frage:
Hallo Zusammen,

ich bräuchte mal einen Tipp, wie ich anfangen soll bei folgender Aufgabe:

Wir betrachten die Menge $\begin{eqnarray*} M = ]0,1[ x ]-1,1[ \end{eqnarray*}$ mit den Abbildungen
$\begin{eqnarray*} \gamma1 : ]0,1[ x ]-1,1[ \Rightarrow M, (x,y)\Rightarrow (x,-y) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \gamma2 : ]2,3[ x ]-1,1[ \Rightarrow M, (x,y) \Rightarrow (x-2,y) \end{eqnarray*}$

Man zeige, dass $\begin{eqnarray*} \gamma1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma2 \end{eqnarray*}$ Karten von M liefern, aber keinen Atlas.

Meine Ideen:
Ich bin total aufgeschmissen, was dieses Thema angeht. Ich weiß zwar, dass ein Atlas nur ein solcher ist, wenn beide Karten die komplette Menge abdecken. Aber wie weise ich nach, dass es sich um Karten handelt? Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich anfangen soll?

21.08.2016, 21:10

10001000Nick1

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RE: Karten & Atlas zeigen

Zitat:

Original von Analytiker2016
Aber wie weise ich nach, dass es sich um Karten handelt?

Erstmal schaust du nach, was eine Karte ist; das wirst du ja sicherlich irgendwo stehen haben.

Und dann kannst du hier gern bei den Punkten nachfragen, die dir da unklar sind. smile

21.08.2016, 21:45

Analytiker2016

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Also in der Vorlesung hatten wir folgende Definition:
Sei $\begin{eqnarray*} M\subset \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ eine Menge und $\begin{eqnarray*} U \subset \mathbb R^m \end{eqnarray*}$ offen und $\begin{eqnarray*} \gamma :U\Rightarrow M \end{eqnarray*}$ eine injektive, stetig differenzierbare Abbildung, sodass $\begin{eqnarray*} \gamma^-:\gamma(U)\Rightarrow U \end{eqnarray*}$ stetig ist. Dann heißt $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ eine Karte von M.

Muss ich also die Umkehrabbildung von den beiden möglichen Karten bilden und diese auf Stetigkeit prüfen oder was muss ich machen?

22.08.2016, 10:40

10001000Nick1

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Ja, genau. (Und natürlich auch noch die Injektivität und Differenzierbarkeit von $\begin{eqnarray*} \gamma_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma_2 \end{eqnarray*}$ .)

22.08.2016, 21:53

Analytiker2016

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Also, ist es richtig, wenn ich sagen:

Beide sind injektiv, denn jedem x bzw. y wird ein bestimmtes f(x) bzw. f(y) aus der Zielmenge zugeordnet.
Beide sind diff'bar, denn ich von beiden die partielle Ableitung bilden. Die müsste ich dann hinschreiben oder?

Wie zeige ich dann, dass beide nicht die komplette Menge abdecken? Mich irritiert hier die Definition der Menge, denn die sind ja am Rand offen. Ich bin verwirrt. Und die zweite Funktion hat ja ganz andere Grenzen ]2,3[

23.08.2016, 10:17

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Analytiker2016
Beide sind injektiv, denn jedem x bzw. y wird ein bestimmtes f(x) bzw. f(y) aus der Zielmenge zugeordnet.

Das hat nichts mit Injektivität zu tun; das erfüllt jede Funktion.

Injektivität von $\begin{eqnarray*} \gamma_1 \end{eqnarray*}$ bedeutet: Wenn $\begin{eqnarray*} (x_1, y_1), (x_2, y_2)\in (0,1)\times (-1,1) \end{eqnarray*}$ sind mit $\begin{eqnarray*} \gamma_1(x_1, y_1)=\gamma_1(x_2, y_2) \end{eqnarray*}$ , dann muss $\begin{eqnarray*} (x_1, y_1)=(x_2, y_2) \end{eqnarray*}$ gelten.
Und das musst du zeigen.

Zitat:

Original von Analytiker2016
Beide sind diff'bar, denn ich von beiden die partielle Ableitung bilden. Die müsste ich dann hinschreiben oder?

Existenz der partiellen Ableitungen reicht nicht (das reicht nicht mal für Differenzierbarkeit). Für stetige Differenzierbarkeit brauchst du zusätzlich noch Stetigkeit der partiellen Ableitungen.

Zitat:

Original von Analytiker2016
Wie zeige ich dann, dass beide nicht die komplette Menge abdecken? Mich irritiert hier die Definition der Menge, denn die sind ja am Rand offen. Ich bin verwirrt. Und die zweite Funktion hat ja ganz andere Grenzen ]2,3[

Die Menge $\begin{eqnarray*} (2,3)\times (-1,1) \end{eqnarray*}$ ist das $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ aus deiner Definition. Das hat erstmal gar nichts mit $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ zu tun; deswegen ist es auch egal, ob die Intervallgrenzen dieselben sind oder nicht. Die Menge $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ könnte auch völlig anders aussehen.
Schreib am besten mal noch deine Definition von Atlas auf.

28.08.2016, 19:56

Analytiker2016

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Vielen Dank schonmal für deine Antwort.

Könnte ich hier eigentlich auch mit dem Satz zu impliziten Funktionen lösen?

29.08.2016, 00:19

10001000Nick1

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Ich wüsste nicht, wie der Satz hier weiterhelfen soll.

29.08.2016, 13:55

Analytiker2016

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Oh man, ich bin total aufgeschmissen bei dieser Aufgabe.

Wie zeige ich denn Stetigkeit? Wir hatten das Epsilon-Delta-Kriterium aber wie wende ich das auf diese Abbildungen an?

Die Ableitung von der ersten Abbildung wäre ja (1, -1) oder? Bei der zweiten dann (1, 1). Die sind ja stetig oder?

29.08.2016, 18:13

10001000Nick1

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Wenn du nicht gerade im ersten Semester deines Mathematikstudiums bist (und das vermute ich angesichts dieser Aufgabe Augenzwinkern

), wird es reichen, wenn du die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} \gamma_1 \end{eqnarray*}$ mit der Stetigkeit der einzelnen Komponentenfunktionen begründest: $\begin{eqnarray*} x\mapsto x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\mapsto -y \end{eqnarray*}$ sind stetig, also auch die Funktion $\begin{eqnarray*} \gamma_1 \end{eqnarray*}$ .

Wenn du es doch mit dem $\begin{eqnarray*} \varepsilon-\delta \end{eqnarray*}$ -Kriterium machen willst, dann so:

Sei $\begin{eqnarray*} (x_0, y_0)\in (0,1)\times (-1,1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} |\gamma_1(x,y)-\gamma_1(x_0, y_0)|=|(x,-y)-(x_0, -y_0)|=...<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} (x, y)\in (0,1)\times (-1,1) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |(x,y)-(x_0,y_0)|=...<\delta(\varepsilon):=... \end{eqnarray*}$ .

Versuch mal, die restlichen Stellen zu ergänzen.

29.08.2016, 18:40

Analytiker2016

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Also, ich möchte mir so einen Fahrplan erstellen, das kann ich immer am besten.

Ich schaue mir also die Abbildungen einzeln an und dann schaue ich als erstes, ob beide jeweils stetig sind diff'bar sind.

Stetigkeit zeige ich entweder durch Begründung über den Komponentenfunktionen oder mit dem Kriterium:
$\begin{eqnarray*} | \gamma _{1} (x, y)-\gamma _{1} (x_{0}, y_{0})| = | (x, -y)- (x_{0}, -y_{0})| = | (x - x_{0} - y + y_{0})| < \epsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} | (x, -y)- (x_{0}, -y_{0})| = | (x - x_{0} - y + y_{0})| < \delta_{\epsilon} \end{eqnarray*}$

Muss ich dann nochmal die Umkehrabbildung bilden und zeigen, dass diese auch stetig ist. Und ist die Umkehrabbildung: (-x, y)?

Wenn ich das für beide gezeigt habe, wie zeige ich dann, dass diese keinen Atlas bilden. Ich müsste ja nachweisen, ob die Karten verträglich sind, oder?

30.08.2016, 09:33

10001000Nick1

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So stimmt das nicht. Besser so:

Zitat:

Original von Analytiker2016 (korrigiert)
$\begin{eqnarray*} | \gamma _{1} (x, y)-\gamma _{1} (x_{0}, y_{0})| = | (x, -y)- (x_{0}, -y_{0})| = | (x - x_{0} \textcolor{red}{,} - y + y_{0})| < \epsilon \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} | \textcolor{red}{(x, y)- (x_{0}, y_{0})}| = | \textcolor{red}{(x - x_{0}, y - y_{0})}|= \textcolor{red}{|(x - x_{0}, y - y_{0})|} < \delta_{\epsilon} \textcolor{red}{ :=\varepsilon} \end{eqnarray*}$ .

Man kann also einfach $\begin{eqnarray*} \delta_\varepsilon=\varepsilon \end{eqnarray*}$ wählen.

Danach zeigst du die Injektivität und bestimmst die Umkehrfunktion. Die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} \gamma_1 \end{eqnarray*}$ ist aber nicht $\begin{eqnarray*} (x,y)\mapsto (-x,y) \end{eqnarray*}$ . Das kannst du ganz einfach überprüfen: Ist $\begin{eqnarray*} \gamma_1(-x,y)=(x,y) \end{eqnarray*}$ ?

Und wegen dem Atlas: Schreib wie gesagt nochmal eure Definition von Atlas auf.

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