Muster aus Kugeln

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SIUHON Auf diesen Beitrag antworten »
Muster aus Kugeln
Meine Frage:
Bei einem Muster von Kreisen gleichen Durchmessers wo jeder neue Kreis auf dem Schnittpunkt bestehender Kreise gezogen wird, können von jedem Schnittpunkt aus jeweils 6 andere benachbarte Punkte erreicht werden. Wenn wir statt Kreise Kugeln nehmen, wieviele Schnittlinien gibt es dann? Da alle Kugeln gleichgroß sind, sollte die Antwort immer gleich sein.

Meine Ideen:
Mein Ansatz wäre 4pi(6/2pi)^2, also A_O = 4pi*r^2, mit r=U/2pi, und für U nehme ich dann die Anzahl an Schnittpunkten in 2 Dimensionen. In dieser Aufgabenstellung gibt es ja keine Größenordnung, d.h. es geht hier um konforme Geometrie.
Natürlich ist diese Vorgehensweise sehr ad hoc, da ja nichtmal eine gerade Zahl rauskommt. Wie könnte man noch vorgehen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SIUHON
Bei einem Muster von Kreisen gleichen Durchmessers wo jeder neue Kreis auf dem Schnittpunkt bestehender Kreise gezogen wird, können von jedem Schnittpunkt aus jeweils 6 andere benachbarte Punkte erreicht werden.

1) Was genau verstehst du unter benachbart?
2) Was ist die Startkonfiguration? Bei nur einem Kreis hast du noch keine Schnittpunkte, es braucht also einen zweiten. Ist der beliebig wählbar, nur dass irgendwie Schnittpunkte entstehen, oder forderst du mehr (etwa, dass dessen Mittelpunkt auf dem ersten Kreis liegt)?
LAMHOU Auf diesen Beitrag antworten »

Zu (1): Benachbart = Ohne Umwege erreichbar.

Zu (2): Ja, der Mittelpunkt muss auf dem ersten Kreis liegen. Dannach kann man dann alle neue Kreise auf vorhandenen Schnittpunkten ansetzen.
Das ganze ist ganz einfach bei Kreisen. Wie es bei Kugeln aussieht weiss ich aber nicht. Also wieviele durchdringende Kugeln da auf einer Kugel aufliegen würden, und so.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei Kugeln meinst du es also so:

Die zweite Kugel muss ihren Mittelpunkt auf der ersten haben.

Die dritte Kugel muss ihren Mittelpunkt auf dem Schnittkreis von erster und zweiter Kugel haben.

Ab der vierten Kugel sind nur noch Schnittpunkte von (mindestens) drei Kugeln als neue Mittelpunkte zugelassen.


In der Ebene ist die Situation dann klar - auf jedem Kreis befinden sich maximal 6 andere Schnittpunkte (Waben-/Hexagonalstruktur).

Die Situation im Raum ist völlig anders: Wenn ich das richtig überblicke, ist die Nachbarzahl nicht beschränkt! geschockt


Zur Begründung: Betrachten wir zunächst den Schnittkreis zweier Kugeln mit Durchmesser , wobei die Mittelpunkte der Kugeln auf der jeweils anderen Kugel liegen:

Dieser Schnittkreis hat Durchmesser , er habe Mittelpunkt . Legt man nun einen neuen Kugelmittelpunkt auf diesen Schnittkreis, und bezeichne die Schnittpunkte dieser neuen Kugel mit dem bewussten Schnittkreis mit und , dann ist

,

d.h. ist auf alle Fälle ein irrationales Vielfaches von . Das bedeutet, durch beliebige Wiederholung dieser Prozedur (mit B oder C als "neues" A) kann man erreichen, dass allein auf dem Schnittkreis unendlich viele, sogar auf dem Schnittkreis "dicht" liegende neue Kugelmittelpunkte entstehen.


EDIT (29.8.16): Hallo? Noch jemand zu Hause?
LAMHOU Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldige die späte Antwort!
Vielen Dank, HAL 9000.

Sehr interessant.
Jetzt hätte ich hier doch gern noch eine weitere Bedingung: Die Kugelmittelpunkte sollten alle gleich weit voneinander entfernt sein.
Führt meine Methode zur richtigen Anzahl an Kugeln die an einer Kugel anliegen?

Entschuldige die späte Antwort!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LAMHOU
Die Kugelmittelpunkte sollten alle gleich weit voneinander entfernt sein.

Dann ist nach insgesamt (!) vier Kugeln Schluss: Die vier Mittelpunkte bilden die Eckpunkte eines regulären Tetraeders.

Eine fünfte Kugel, oder gar noch weitere Kugeln, sind mit dieser deiner Forderung nicht vereinbar - zumindest, wenn ich diese richtig verstanden habe. unglücklich


Momentan sieht mir leider alles nur nach einer schlecht durchdachten Analogieübertragung von der Ebene in den Raum aus. verwirrt
 
 
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