Erwartungswert, absolut stetig,

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StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert, absolut stetig,
Es sei X eine nichtnegative Zufallsvariable mit stetiger Dichte und endlichen Erwartungwert.
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Hallo
Da die Dichte f stetig ist folgt aus dem ersten Hauptsatz, dass ist.
Rechte Seite:
=

Es genügt also zuzeigen



Darf ich die Integrale zusammenfassen und unter welcher begründung?


Weiter bin ich noch nicht gekommen. Die Endlichkeit des Erwartungswertes muss ich noch verwenden!

LG,
MaGi
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Bestehst du auf dem Weg über partielle Integration? Der Haken dort ist tatsächlich der nichttriviale Grenzwertnachweis .


Die m.E. einfachere Begründung bietet Fubini (Vertauschung der Integrationsreihenfolge):

.

Und Fubini darf man bei nichtnegativen (messbaren) Integranden immer anwenden - im Extremfall kommt da auf beiden Seiten heraus, was man ja auch (uneigentlich) als Gleichheit ansehen kann. Der Integrand erfüllt hier diese Nichtnegativitätsbedingung. Augenzwinkern

Dieser Beweisweg kann zudem auf die Voraussetzung einer stetigen Dichte verzichten.
StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
Ich hätte zu deinem Weg 2 Fragen.

1) Der Weg braucht auch nirgends, dass der Erwartungswert endlich ist - denn wie su sagst kommt dann auf beiden Seiten unendlich raus.

2) Ich verstehe die Veränderung der Integrationsgrenzen noch nicht. Integrierst du dann nicht einmal über das Dreieck im I.Quadranten, dass von y=x und y=0 eingeschlossen wird und einmal über das Dreieck im I.Quadranten das von y=x und x=0 eingeschlossen wird?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es wird in beiden Termen über dasselbe

Zitat:
Original von StrunzMagi
Dreieck im I.Quadranten das von y=x und x=0 eingeschlossen wird

integriert. Augenzwinkern


Die Variante

Zitat:
Original von StrunzMagi
Dreieck im I.Quadranten, dass von y=x und y=0 eingeschlossen wird

würde dem Integral entsprechen - davon ist hier nirgendwo die Rede. Dieses (hier irrelevante) Integral existiert übrigens nie, d.h., ist immer , ob der Erwartungswert nun existiert oder nicht.
StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, ich hatte da ein Fehler in meinen Überlegungen.
Wenn ich das richtig sehe braucht man in deinem Beweis weder die Stetigkeit der Dichte noch die Endlichkeit des Erwartungwertes und kann die Formel eigentlich immer anwenden für eine absolut stetige Verteilung mit positiver Zufallsvariable.
Komisch, dass die Voraussetzungen dann so gegeben sind.

Ich habe nun wo nachgelesen, wo ich den Grenzwert von gefunden hatte.
Dort steht:

Ich denke die rechte Seite ist 0 weil der Erwartungswert endlich ist (also das Integral ?
Aber so ganz klar ist mir das auch nicht...dir vlt.?

LG,
MaGi
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja klar: Man kann betrachten, das existiert (bei messbaren ) für alle positiven reellen . Der Grenzwert - sofern existent - ist der Erwartungswert . Offenbar ist im Existenzfall dann aber auch

,

was passiert nun beim Grenzübergang ? Augenzwinkern
 
 
StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnelle Antwort,

G ist nach dem Hauptsatz der Differential und Integralrechnung stetig da f als stetig vorausgesetzt wird, demnach ist
Fragt sich nur noch warum der Grenzwert existieren sollte?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von StrunzMagi
Fragt sich nur noch warum der Grenzwert existieren sollte?

Hatten wir das nicht gerade geklärt? Wie, denkst du denn, ist ein uneigentliches Integral wie definiert?
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