Zweiseitiges Konfidenzintervall berechnen

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gamlastan Auf diesen Beitrag antworten »
Zweiseitiges Konfidenzintervall berechnen
Hallo zusammen,

folgende Aufgabe (in Englisch) möchte ich lösen:

The following data resulted from independent measurements of the melting point of lead:
330, 322, 345, 328.6, 331, 342, 342.4, 340.4, 329.7, 334, 326.5, 325.8

Assuming that the measurements can be regarded as consistuting a normal sampled whose mean is the true melting point of lead, determine 95% and 99% two-sided confidence intervals for the melting point.
Use only the pocket calculator and the tables below to calculate the solution.

Meine Ansatz:
Also es wurden n=12 Messungen gemacht und die Ergebnisse (in °C) festgehalten (siehe obige Angaben).
Es soll angenommen werden, dass die Messungen als normalverteilt mit dem Mittelwert des wahren Schmelzpunkt von Blei, anzusehen sind.
Jetzt soll ein 95% u. 99% Vertrauensintervall bestimmt werden für den Schmelzpunkt.
Ich weiß: Das ist normalverteilt. Erwartungswert ist bekannt und Standartabweichung nicht. Wobei der Erwartungswert nicht als Wert gegeben ist.

Ich möchte wissen mein Konfidenzintervall für µ (Erwartungswert) wenn Sigma unbekannt ist. Richtig?

Könnte mir jemand sagen ob das richtig ist und mir den grundsätzlichen Sachverhalt von Konfidenzintervallen nochmal erörtern?

Vielen Dank!

Als nächstes würde ich mich dann mit der Lösung beschäftigen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gamlastan
Das ist normalverteilt. Erwartungswert ist bekannt und Standartabweichung nicht. Wobei der Erwartungswert nicht als Wert gegeben ist.

"Bekannt und nicht als Wert gegeben" ist Unsinn. Der Erwartungswert ist hier nicht bekannt, sondern wird durch den Stichprobenmittelwert geschätzt. Genauso ist die Standardabweichung nicht bekannt und wird durch die Stichprobenstandardabweichung geschätzt

Zitat:
Original von gamlastan
Ich möchte wissen mein Konfidenzintervall für µ (Erwartungswert) wenn Sigma unbekannt ist. Richtig?

Richtig. Dafür gibt es bekannte Konfidenzintervallformeln, in denen t-Verteilungsquantile Verwendung finden.
gamlastan Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von gamlastan
Das ist normalverteilt. Erwartungswert ist bekannt und Standartabweichung nicht. Wobei der Erwartungswert nicht als Wert gegeben ist.

"Bekannt und nicht als Wert gegeben" ist Unsinn. Der Erwartungswert ist hier nicht bekannt, sondern wird durch den Stichprobenmittelwert geschätzt. Genauso ist die Standardabweichung nicht bekannt und wird durch die Stichprobenstandardabweichung geschätzt

Zitat:
Original von gamlastan
Ich möchte wissen mein Konfidenzintervall für µ (Erwartungswert) wenn Sigma unbekannt ist. Richtig?

Richtig. Dafür gibt es bekannte Konfidenzintervallformeln, in denen t-Verteilungsquantile Verwendung finden.



Aus der Vorlseung ergibt sich demnach:



mit alpha für 95% = -0.05.

Wie ist obige Gleichung zu verstehen und was bedeutet das delta?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt, dass die Messwerte mit 95%iger Wahrscheinlichkeit in einem bestimmten Intervall um den Mittelwert liegen.

Wie groß dieses Intervall ist, sagt Dir für eine standardisierte Normalverteilung (also Mittelwert 0, Standardabweichung 1) diese Tabelle. Hieraus kannst Du zum Beispiel ablesen, dass etwa 68 Prozent der Werte zwischen "Mittelwert-Standardabweichung" und "Mittelwert+Standardabweichung" liegen.

Jetzt sollst Du das entsprechende Intervall um den Mittelwert für 95 Prozent bestimmen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Stichprobe hier ist mit n=12 relativ klein, da sollte man doch besser mit den t- statt den Normalverteilungsquantilen arbeiten:

Tabelle Konfidenzschätzungen (zweiter Eintrag)

Grundlage dafür ist, dass zwar standardnormalverteilt ist, aber hingegen t-verteilt (dabei ist der Standardabweichungsschätzer). Und wir kennen nun mal nicht , sondern nur .
gamlastan Auf diesen Beitrag antworten »

Formt man obige Form weiter um und nutzt, wie von HAL gesagt, aus das gilt folgt:

und für delta (aus Vorlesung):


Dann könnte ich obige Gl. für delta in die Gl für F_T einsetzten. Und benötige dann die Tabelle für die t und tinv Verteilung

Ist das Richtig?

Das S kürzt sich ja raus.
Es lässt sich durch
bestimmen. Nur aus Interesse, wie sehen dabei meine aus?
 
 
gamlastan Auf diesen Beitrag antworten »

Also die nachfolgende Form habe ich gefunden:


Das S kürzt sich. Aus der Tabelle für die t-Verteilung bei n-1 = 11 lese ich ab: 2.20099.

Demnach ist das Intervall

Aber wie passt das jetzt mit den Temperaturen zusammen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gamlastan
und für delta (aus Vorlesung):

Die Einführung dieses verstehe ich jetzt nicht so ganz, vor allem da das -Quantil der t-Verteilung nichts mit den Grenzen des zweiseitigen -Konfidenzintervalls zu tun hat - da spielen wie erwähnt eher die - sowie -Quantile eine Rolle!

Definiert wird dieses symmetrischen zweiseitige Konfidenzintervall über , dabei ist wegen der Symmetrie der t-Verteilung , in deiner Schreibweise ist wohl .

Das Ereignis in (...) umgeformt nach ergibt das Konfidenzintervall für diesen Parameter:





.
gamlastan Auf diesen Beitrag antworten »

Also vllt nochmal von Beginn an.
Aus unserer Vorlesung ist bekannt:
Zweiseitiges (symetrisches) Intervall für µ wenn Sigma unbekannt ist.


Daraus folgt weiter:


Dann kann man daraus
sowie

Das lässt sich zum Dellta sagen.

Hilft das weiter?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt stimmt's, es ist inhaltlich dasselbe wie in meinem Beitrag. Nur mit dem kleinen Unterschied, dass bei dir von vornherein die Symmetrie der t-Verteilung eingeht, was bei mir erst später geschieht. Bei unsymmetrischen Verteilungen (wie der Chiquadratverteilung in deinem anderen Thread) kann man nämlich nicht mit starten.
gamlastan Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich nun das Intervall berechnen will, bekomme ich, sofern ich mich nicht verrechnet habe das obene genannte Intervall


Wie geht es dann weiter?
Vllt mit
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich doch geschrieben!!! einsetzen und nach umstellen - und genau das habe ich oben doch schon gemacht:

Zitat:
Original von HAL 9000
Das Ereignis in (...) umgeformt nach ergibt das Konfidenzintervall für diesen Parameter:





.

Mit eben deinen , sowie Mittelwert und Standardabweichung deiner 12er-Stichprobe.


P.S.: Woher deinen ominösen 0.1312 kommen, ist mir nicht klar. Erstaunt1
gamlastan Auf diesen Beitrag antworten »

Hab mich da gedanklich verhaspelt. Ich denke mit t_n-1, 1-alpha/2 meinst du das selbe wie ich mit F_T_n-1

Und sowie S berechne ich über die Werte?
gamlastan Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von gamlastan
und für delta (aus Vorlesung):

Die Einführung dieses verstehe ich jetzt nicht so ganz, vor allem da das -Quantil der t-Verteilung nichts mit den Grenzen des zweiseitigen -Konfidenzintervalls zu tun hat - da spielen wie erwähnt eher die - sowie -Quantile eine Rolle!

Definiert wird dieses symmetrischen zweiseitige Konfidenzintervall über , dabei ist wegen der Symmetrie der t-Verteilung , in deiner Schreibweise ist wohl .

Das Ereignis in (...) umgeformt nach ergibt das Konfidenzintervall für diesen Parameter:





.




Die vorletzte Zeile lässt sich mit dem delta wie folgt schreiben:

daraus folgt

was umgestellt der obigen Form entspricht.
für S und X_bar habe ich 6.946 und 333.1167 raus.
demnach ergibt sich delta zu: 4,413 (alle werte gerundet)

Das Intervall lautet demnach:
gamlastan Auf diesen Beitrag antworten »

edit:

S = 7.552
und dann

326.3187 <= µ <= 335.9147
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