Isomorphismen der Gruppe Z/nZ |
30.08.2016, 20:06 | Julia 004 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Isomorphismen der Gruppe Z/nZ Zu zeigen ist: Seien a,b \in Z mit a,b >=1 und ggT(a,b)=1. Dann gilt: Z/(a.b)Z ist isomorph zu Z/aZ x Z/bZ. Meine Ideen: Ich hatte überlegt diese Aufgabe zunächst anhand eines Beispiels zu zeigen und wollte dafür Z/6Z ist isomorph zu Z/3Z x Z/2Z zeigen. Allerdings finde ich keine geegnete Abbildung. Ein weiteres Problem ist, dass ich nicht weiß, ob es sich um eine additive, eine multiplikative oder... handelt. Was ich z.B. probiert habe: Die Äquivalenzklassen von Z/3Z und Z/2Z zu addieren als auch zu multiplizieren. Problem in beiden Fällen kommt man nie auf die Äquivalenzklase von (5). |
||||||||
30.08.2016, 20:40 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Isomorphismen der Gruppe Z/nZ
Additiv natürlich. Multiplikativ wäre Quatsch, denn die 0 (bzw. deren Äquivalenzklasse) ist ja ebenfalls enthalten. Die hat aber kein multiplikativ Inverses und du hättest keine Gruppe mehr. Betrachte und weise nach: i) Wohldefiniertheit ii) Homomorphismuseigenschaft iii) Injektivität (betrachte dazu einfach den Kern, hier wird ggT(a,b)=1 wichtig) iv) Surjektivität, diese folgt jedoch unmittelbar aus iii) und Gleichmächtigkeit der beiden betrachteten Mengen Ergibt zusammen, dass ein Isomorphismus ist und damit das Gewünschte. Nachtrag: Zum besseren Verständnis der obigen Abbildung: Beim Beispiel würde die auf abgebildet werden, denn und (alles als Äquivalenzklassen zu verstehen, wobei ich immer die kleinste nichtnegative Zahl als Repräsentanten gewählt habe, wie es üblich ist). |
||||||||
31.08.2016, 16:43 | Julia 004 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke für deine Hilfe. Ich hab allerdings noch ein paar Fragen. 1. Zeige ich die wohldeiniertheit indem ich zeige dass [z] auf das gleiche Element wie [z+abx], x \in Z abgebildet wird? 2. Bei den Homomorphieeigenschafeten muss ich ja nur zeigen dass f(a+b)=f(a)+f(b), das eine neutrales und ein inverses Element existiert, oder? 3. Für die Injektivität reicht es doch zu zeigen, dass nur das neutrale Element im Kern liegt also [0] = 0+abx, oder? |
||||||||
31.08.2016, 17:24 | Julia 004 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nachtrag: Wann ist ein Homomorphismus ein Gruppenhomomorphismus? Bzw ist das das gleiche oder 2 unterscheidliche Dinge? |
||||||||
31.08.2016, 18:08 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Isomorphismen der Gruppe Z/nZ
Zu zeigen ist, dass das Bild einer Äquivalenzklasse unabhängig vom gewählten Repräsentanten ist. Also wenn , dann ist auch und und damit die Bilder identisch.
Zu zeigen ist nur die Strukturverträglichkeit, also . Was du mit "das eine neutrales und ein inverses Element existiert" meinst, weiß ich nicht.
Ja. Und wenn ich "Homomorphismus" schreibe, meine ich in diesem Zusammenhang natürlich einen Gruppenhomomorphismus, ja. "Homomorphismus" ist der Oberbegriff, wenn man so will. Wenn man mit Ringen hantiert, nennt man es eben einen Ringhomomorphismus, bei Gruppen analog Gruppenhomomorphismus, bei Vektorräumen ist ein Vektorraumhomomorphismus (auch Lineare Abbildung genannt) usw. |
|
Verwandte Themen
Die Beliebtesten » |
|
Die Größten » |
|
Die Neuesten » |
|