Differentialgleichungssysteme Eigenvektoren, Hauptvektoren

30.08.2016, 22:29

Bodo85

Differentialgleichungssysteme Eigenvektoren, Hauptvektoren

Guten Abend zusammen,

ich hänge gerade an einem DGL System und verstehe meine Musterlösung nicht.

Die Aufgabe lautet:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -4 & 1 & 0 \\ 3 & 6 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe die Nullstellen berechnet und bin durch ausprobieren, PQ Formel und der Polynomdivision auf folgende Nullstellen gekommen:
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 2 \lambda_2 = \lambda_3 = 1 \end{eqnarray*}$
Nun versuche ich den Eigenvektor zu berechnen für $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 2 \end{eqnarray*}$

Dazu habe ich folgender berechnet:
$\begin{eqnarray*} det(A- \lambda E)=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ -4 & -1 & 0 \\ 3 & 6 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun soll laut Musterlösung der Eigenvektor wie folgt lauten:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Im Weiteren soll für $\begin{eqnarray*} \lambda_2 = \lambda_3 = 1 \end{eqnarray*}$

Die Matrix entstehen (das ist klar!)
$\begin{eqnarray*} det(A- \lambda E)=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & 0 \\ 3 & 6 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Eigenvektor soll dann lauten:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist mein erstes Problem.
Wenn ich mir nun den weiteren Verlauf der DGL Systeme ansehe, verstehe ich in der Selben Aufgabe nicht, was ein Hauptvektor ist und wie ich auf diesen komme.

Für eine Hilfestellung wäre ich furchtbar dankbar!

31.08.2016, 01:00

Equester

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Hab ich richtig verstanden, du konntest nicht nachvollziehen wie man auf die Eigenvektoren kommt?

Du hast doch die beiden Matrizen mit den jeweiligen Eigenwerten verrechnet. Nun setze diese Matrizen gleich dem Nullvektor und errechne dir die x, y und z-Werte. In dem du ein LGS aufstellst.

31.08.2016, 08:22

Bodo85

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Guten Morgen,
ja das hast du richtig verstanden.
Ich komme aber nicht auf die Vektoren.
Ich habe folgendes berechnet für $\begin{eqnarray*} \lambda_1=2 \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ -4 & -1 & 0 \\ 3 & 6 & 0 \end{pmatrix} *v_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \\ -x_1 = 0 \\ -x_1 -x_2 = 0 \end{eqnarray*}$

Daraus schließe ich aber nicht warum $\begin{eqnarray*} x_2 = 1 \end{eqnarray*}$ sein soll. Könnte es mir ledigleich vorstellen, damit man überhaupt einen Wert hat zum rechnen im Fundamentalsystem.

Für $\begin{eqnarray*} \lambda =1 \end{eqnarray*}$ kome ich auf:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & 0 \\ 3 & 6 & 1 \end{pmatrix} *v_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \\ x_1 = 0 \\ -4x_1 = 0 \Rightarrow 0 \\ 3x_1 + 6x_2 + x_3 = 0 6x_2 = - x_3 \Rightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

31.08.2016, 08:29

klarsoweit

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Zitat:

Original von Bodo85
$\begin{eqnarray*} \lambda_1=2 \\ -x_1 = 0 \\ -x_1 -x_2 = 0 \end{eqnarray*}$

Daraus schließe ich aber nicht warum $\begin{eqnarray*} x_2 = 1 \end{eqnarray*}$ sein soll.

Warum soll denn überhaupt x_2 = 1 sein? Die Lösung $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aus der Musterlösung läßt das jedenfalls nicht erwarten.

Zitat:

Original von Bodo85
$\begin{eqnarray*} 6x_2 = - x_3 \Rightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Durch eine kleine Einsetzprobe ist leicht zu sehen, daß dieser Vektor nicht die davor stehende Gleichung löst. unglücklich

Überhaupt geht es im Grunde nur um das Lösen eines LGS. Dafür gibt es ein definiertes Verfahren, das du nur anwenden mußt.

Ich schieb das mal in den Hochschulbereich.

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