Diagonalisierbarkeit

30.08.2016, 23:53

Optimal

Diagonalisierbarkeit

Hallo,

ich denke gerade darüber nach ob folgende Behauptung stimmt:

Sei $\begin{eqnarray*} A \in M(n \times n | \mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ eine quadratische, endliche, komplexe und diagonalisierbare Matrix mit n Spalten und n Zeilen. Sei weiterhin $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ . Dann ist auch $\begin{eqnarray*} B:=a\cdot A \end{eqnarray*}$ diagonalisierbar.

Ich komme leider nicht wirklich auf eine Beweisidee.

Jemand einen kleinen Anreiz/Tip?

PS: Ich denke darüber nach weil dieser Satz mir evtl. bei einer bestimmten Rechnung als Lemma dienen könnte. Wink

31.08.2016, 00:12

Optimal

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RE: Abendgedanken
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Entschuldigung! Mir fällt gerade auf, dass ich vergessen habe zu fordern dass, a verschieden von Null sein soll.

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Des Weiteren habe ich schonmal herausgefunden dass wenn der Satz stimmt, die EWe von B ein Vielfaches von den Ewn von A sind, denn:

$\begin{eqnarray*} \chi_B(\lambda_B) = \det{(aA-\lambda_B \mathbb{I})} = \det{(a\mathbb{I})} \cdot \det{(A-\frac{\lambda_B}{a} \mathbb{I})} = a^n \cdot \det{(A-\frac{\lambda_B}{a} \mathbb{I})} \overset{!}{=} 0 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda_B = a \cdot \lambda_A \end{eqnarray*}$

31.08.2016, 00:26

Helferlein

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Ist eigentlich ganz einfach, wenn Du die Definition $\begin{eqnarray*} \exists S\in GL(K): S^{-1}AS=D \end{eqnarray*}$ verwendest.

31.08.2016, 09:07

Optimal

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$\begin{eqnarray*} S\cdot A \cdot S = D \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow aS\cdot A \cdot S = S \cdot aA \cdot S = S \cdot B \cdot S = aD \end{eqnarray*}$

Hammer

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Außerdem gilt für die Evn:

$\begin{eqnarray*} A \cdot v = \lambda_A v \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow B \cdot v= a A \cdot v= a\lambda_Av = \lambda_B v \end{eqnarray*}$

D.h. Die Evn von A sind die gleichen wie die EVn von B.

Stimmt das? Big Laugh

Danke

31.08.2016, 17:53

Helferlein

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Einfaches Beispiel: Haben f(v)=v und g(v)=2v dieselben Eigenwerte? Haben sie dieselben Eigenvektoren? Wie sieht jeweils eine darstellende Matrix aus?

Du hast in deiner Gleichung keine Inverse von S verwendet. Das solltest Du nachbessern. Zudem willst Du doch eine Gleichung mit B haben. Das sollte dann nicht erst kurz vor Schluß auftauchen.

Fang also mit $\begin{eqnarray*} S^{-1}BS= \end{eqnarray*}$ an.

31.08.2016, 20:42

Optimal

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Zitat:

f(v)=v und g(v)=2v ...

Aus welcher Menge ist v? smile

Zitat:

"Du hast in deiner Gleichung keine Inverse von S verwendet. Das solltest Du nachbessern."

Stimmt. Die Inversen von S hab ich versehentlich garnicht abgetippt. Big Laugh

Zitat:

"Fang also mit $\begin{eqnarray*} S^{-1}BS= \end{eqnarray*}$ an."

Das ist glaub ich eher eine Stylefrage...XD

01.09.2016, 21:35

Helferlein

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Leider komme ich erst jetzt zu einer Antwort.

v ist Element eines (beliebigen) Vektorraums. Für die Eigenwerte spielt der Raum keine Rolle, es geht nur um das Beispiel.

Und was die "Stilfrage" angeht: Ein mathematischer Beweis sollte logisch aufgebaut sein, sonst ist es kein Beweis. Es ist also naheliegend die Gleichungskette mit dem zu betrachtenden Term zu beginnen, anstatt ihn erst im laufe der Gleichung zu erhalten. Das muss zwar nicht immer so sein, bietet sich hier aber für einen gut aufgebauten Beweis an, denn schließlich ist zu zeigen, dass $\begin{align*} \exists~S \in GL_n(K): S^{-1}BS=D^{*} \end{align*}$ mit einer Diagonalmatrix D.

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