Verteilung Summe, Produkt Gleichverteilung

01.09.2016, 09:42

StrunzMagi

Verteilung Summe, Produkt Gleichverteilung

Hallo,
$\begin{eqnarray*} X,Y \sim U(-1,1) \end{eqnarray*}$ sind jeweils gleichverteilt und unabhängig. Berechne die Dichte von $\begin{eqnarray*} X+Y, X*Y, X/Y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{X+Y}(y)=\int_{-\infty}^{\infty} \! f_X(x_1)f_Y(y-x_1) \, dx_1 = 1/2\int_{-1}^{1} \! 1/2* 1/2 * 1_{(-1,1)} (y-x_1) \, dx_1 \end{eqnarray*}$
Schnittpunkte von $\begin{eqnarray*} y-x_1=1, x_1=1, y-x_1=-1, x_1=-1 \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} (1,2),(1,0),(-1,0),(-1,-2) \end{eqnarray*}$
Aufgezeichnet ein Parallelogramm mit den obigen Eckpunkten.
Für $\begin{eqnarray*} -2 \le y \le 0 \end{eqnarray*}$ haben wir $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{y+1} \frac{1}{4} dx_1 = \frac{y+2}{4} \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} 0 \le y \le 2 \end{eqnarray*}$ haben wir $\begin{eqnarray*} \int_{y-1}^1 \frac{1}{4} dx_1 = \frac{2-y}{4} \end{eqnarray*}$
Sonst ist die Dichte von X+Y gleich 0.

$\begin{eqnarray*} f_{X*Y}(y)=\int_{-\infty}^{\infty} \! \frac{1}{|x_1|} f_X(x_1)f_Y(\frac{y}{x_1}) \, dx_1 = 1/2\int_{-1}^{1} \! \frac{1}{|x_1|} 1/2* 1/2 * 1_{(-1,1)} (\frac{y}{x_1}) \, dx_1 \end{eqnarray*}$
Hier ist die Skizze das Dreieck $\begin{eqnarray*} (0,0), (1,1),(-1,-1) \end{eqnarray*}$ den für $\begin{eqnarray*} x_1 \le 0 \end{eqnarray*}$ überschneiden sich die Flächen nicht.
Für $\begin{eqnarray*} -1 \le y \le 0 \end{eqnarray*}$ haben wir $\begin{eqnarray*} = \int_{1}^{-y} \frac{1}{x_1} * \frac{1}{4} dx_1= -\frac{1}{4} ln(-y) \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} -1 \le y \le 0 \end{eqnarray*}$ haben wir $\begin{eqnarray*} = \int_{y}^{1} \frac{1}{x_1} * \frac{1}{4} dx_1= \frac{1}{4} ln(y) \end{eqnarray*}$
Sonst ist die Dichte von $\begin{eqnarray*} X*Y \end{eqnarray*}$ gleich 0.

Die Dichte von X/Y hab ich nocht nicht.
LG,

01.09.2016, 11:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von StrunzMagi
$\begin{eqnarray*} f_{X*Y}(y)=\int_{-\infty}^{\infty} \! \frac{1}{|x_1|} f_X(x_1)f_Y(\frac{y}{x_1}) \, dx_1 = {\color{red}1/2}\int_{-1}^{1} \! \frac{1}{|x_1|} 1/2* 1/2 * 1_{(-1,1)} (\frac{y}{x_1}) \, dx_1 \end{eqnarray*}$

Dieses 1/2 verstehe ich nicht. verwirrt

Zitat:

Original von StrunzMagi
Für $\begin{eqnarray*} -1 \le y \le 0 \end{eqnarray*}$ haben wir $\begin{eqnarray*} = \int_{1}^{-y} \frac{1}{x_1} * \frac{1}{4} dx_1= -\frac{1}{4} ln(-y) \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} -1 \le y \le 0 \end{eqnarray*}$ haben wir $\begin{eqnarray*} = \int_{y}^{1} \frac{1}{x_1} * \frac{1}{4} dx_1= \frac{1}{4} ln(y) \end{eqnarray*}$

Merkwürdige Fallunterscheidung, und z.T. auch merkwürdige Intervallgrenzen.

Ich würde so rangehen: $\begin{align*} 1_{(-1,1)} \left(\frac{y}{x_1}\right)=1 \end{align*}$ gilt genau dann wenn $\begin{align*} |x_1|\geq |y| \end{align*}$ .
Das geht überhaupt nur für $\begin{align*} |y|\leq 1 \end{align*}$ , und für diese $\begin{align*} y \end{align*}$ gilt dann (auch unter Beachtung der Symmetrie)

$\begin{align*} f_{XY}(y) = 2\cdot \frac{1}{4} \int\limits_{|y|}^1 \frac{1}{x_1} \dd x_1 = -\frac{1}{2}\ln|y| \end{align*}$ .

Als Kontrolle: Es muss $\begin{align*} \int\limits_{-1}^1 f_{XY}(y) ~ \dd y = 1 \end{align*}$ rauskommen!!!

01.09.2016, 12:25

StrunzMagi

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1) Die Dichte der Summe ist korrekt?
2) Für die Dichte des Produkts:
Natürlich ist ein 1/2 zuviel!
$\begin{eqnarray*} f_{X*Y}(y)=\int_{-\infty}^{\infty} \! \frac{1}{|x_1|} f_X(x_1)f_Y(\frac{y}{x_1}) \, dx_1 = \int_{-1}^{1} \! \frac{1}{|x_1|} 1/2* 1/2 * 1_{(-1,1)} (\frac{y}{x_1}) \, dx_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -1 \le y \le 0: 2* \int_{-y}^1 \frac{1}{4} *\frac{1}{x_1} dx_1= -2 * \frac{1}{4} ln(-y)= - \frac{1}{2} ln(-y) \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} 0 \le y \le 1: 2 * \int_y^1 \frac{1}{4} *\frac{1}{x_1} dx_1= - \frac{1}{2} ln(y) \end{eqnarray*}$
Stimmt also jetzt auch mit meiner Rechnung überin Augenzwinkern

3) Für die Dichte des Quotienten:
$\begin{eqnarray*} f_{X/Y} (y) = \int_{-1}^1 |x_1| * \frac{1}{4}* 1_{(-1,1)} (y*x_1) dx_1 \end{eqnarray*}$
Als Skizze erhalte ich eine Art kreuz .
Für $\begin{eqnarray*} - \infty \le y \le 0 \end{eqnarray*}$ erhalte ich
$\begin{eqnarray*} 2* \int_{0}^{-1/y} 1/4 * x dx= \frac{1}{2} \frac{x^2}{2} |_{0}^{- \frac{1}{y}} = \frac{1}{4*y^2} \end{eqnarray*}$
Wegen der Symmetrie erhalte ich für $\begin{eqnarray*} 0 \le y \le \infty \end{eqnarray*}$ ebenfalls $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4*y^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f_{X/Y} (y)= \frac{1}{4*y^2} \end{eqnarray*}$

LG,
MaGi

01.09.2016, 12:31

HAL 9000

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Als Kontrolle: Es muss $\begin{align*} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_{X/Y}(y) ~ \dd y = 1 \end{align*}$ rauskommen! Ist das mit deiner Dichte der Fall???

Zitat:

Original von StrunzMagi
1) Die Dichte der Summe ist korrekt?

Ja.

01.09.2016, 13:12

StrunzMagi

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Hallo,
Ah entschuldige, hatte ich vergessen zu überprüfen.
Ich bin auch schon auf meinen Denkfehler draufgekommen.

Jetzt glaube ich hab ich es (jedenfalls korrekt normiert)
Für $\begin{eqnarray*} - \infty \le y \le -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2* \int_0^{-1/y} \frac{1}{4}*x dx= \frac{1}{4}* \frac{1}{y^2} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} -1 \le y \le 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2* \int_0^1 \frac{1}{4} x dx= \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Wegen Symmetrie gilt:

$\begin{eqnarray*} f_{X/Y} (y))=\begin{cases} \frac{1}{4y^2}, & \mbox{für } y\in ]1,\infty[ \cup ]- \infty,-1[ \\ 1/4, & \mbox{für }|y|\le 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

01.09.2016, 14:15

HAL 9000

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Jetzt stimmt's. Freude

Du siehst: Diese Kontrolle ist so verkehrt nicht - ein Großteil der groben Rechenfehler kann damit entlarvt werden.

(Erinnert mich an Devils Tower. Big Laugh

)

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