Anzahl der Lösungen für nichtlineares Gleichungssystem

01.09.2016, 18:11

Landarzar

Anzahl der Lösungen für nichtlineares Gleichungssystem

Meine Frage:
Hallo alle miteinander,

ich habe momentan an einer echt harten Nuss zu knacken. Ich versuche folgenden Wert zu bestimmen:
$\begin{eqnarray*} \max_{k\in\mathbb{N}^+} | \{ (n,m)\ |\ n,m\in\mathbb{N}^+, (m\cdot n+1)\lceil \log_2 n \rceil + m\cdot(n+3)=k \}| \end{eqnarray*}$

leider ist es mir noch nicht gelungen. Meine Hoffnung ist das die Kardinalität der Menge endlich ist. Und selbst wenn Sie unendlich ist, wäre es die nächste Frage heraus zu finden, ob die Menge für unendlich viele k unendlich wird.

Meine Ideen:
Grundsätzlich habe ich mir verschiedenste Plots angeschaut. Diese suggerieren das es unendlich viele Lösungen gibt. Allerdings sind die Plots für Reelle Zahlen, was noch nichts über die Lösung im [latex]\mathbb{N}[\latex] aussagt.

01.09.2016, 18:34

Elvis

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Eine solche Menge kann nicht unendlich sein, denn für ein gegebenes $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt es nur endlich viele $\begin{eqnarray*} (n,m)\in \mathbb N^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m\cdot n<k \end{eqnarray*}$ .

01.09.2016, 18:50

Landarzar

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Hallo Elvis, danke dir für die Fixe Antwort. Leider habe ich mich etwas wirr ausgedrückt. Klar ist für jedes k die Menge endlich (Brett vorm Kopf). Allerdings sagt das noch nichts über das Maximum über alle k aus.

Die Frage bleibt also offen unglücklich

01.09.2016, 19:46

Elvis

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Wenn k wächst, so wächst die Anzahl der möglichen Teiler von k, also ist sicher $\begin{eqnarray*} |\{(n,m)\in\mathbb N^2: n\cdot m=k\}| \end{eqnarray*}$ nicht nach oben beschränkt. Ich vermute, dass das auch für deine Mengen gilt, kann's aber auch nicht beweisen.

01.09.2016, 19:56

HAL 9000

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Bezeichne $\begin{align*} A_k := \left\{ (m,n)\in \mathbb{N}^{+2} \bigm| (mn+1)\lceil \log_2 n \rceil + m(n+3)=k \right\} \end{align*}$ .

Wie könnte ein $\begin{align*} k \end{align*}$ aussehen bzw. wie könnte man welche konstruieren, so dass $\begin{align*} |A_k| \end{align*}$ möglichst groß ist?

Für festes $\begin{align*} r \end{align*}$ und $\begin{align*} 2^{r-1}<n\leq 2^r \end{align*}$ ist $\begin{align*} (m,n)\in A_k \end{align*}$ gleichbedeutend mit

$\begin{align*} m(n(r+1)+3) = k-r \end{align*}$ .

Jetzt wähle ich ganz frech einfach mal $\begin{align*} k \end{align*}$ so riesig groß, dass $\begin{align*} k-r \end{align*}$ durch $\begin{align*} (n(r+1)+3) \end{align*}$ für alle (!) $\begin{align*} 2^{r-1}<n\leq 2^r \end{align*}$ teilbar ist, das erfüllt z.B. $\begin{align*} k = r + \left((r+1)2^r+3\right)! \end{align*}$ . Für dieses $\begin{align*} A_k \end{align*}$ gilt dann somit schon mal $\begin{align*} |A_k| \geq 2^{r-1} \end{align*}$ . smile

02.09.2016, 08:39

Landarzar

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Danke HAL9000 & Elvis nochmal. Das wird mir sicher ein paar Denkanstöße geben. Ich werde Versuchen eine Obermenge für $\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ zu finden die man vielleicht auch von oben abschätzen kann.

02.09.2016, 09:01

HAL 9000

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Für die oben angegebene Fragestellung ist das aber doch unerheblich. Und nur irgendeine obere Schranke für $\begin{align*} |A_k| \end{align*}$ zu finden ist doch trivial, z.B. ganz grob $\begin{align*} |A_k|\leq k^2 \end{align*}$ .

02.09.2016, 09:13

Landarzar

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Ich habe mich vielleicht wieder unklar ausgedrückt.

Wenn ich eine Obermenge $\begin{eqnarray*} O_k \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ finden kann, und die Kardinalität für $\begin{eqnarray*} O_k \end{eqnarray*}$ konstant beschränkt ist, dann habe ich gezeigt das ein Maximum $\begin{eqnarray*} \max_{k\in\mathbb{N}^+} |A_k| \end{eqnarray*}$ existiert. Oder sehe ich das Falsch?

02.09.2016, 09:48

IfindU

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Es wäre respektvoller gewesen zu sagen du verstehst nicht was HAL bewiesen hat, als es auf den ersten Blick nicht zu verstehen, sich nicht die Mühe zu machen es verstehen zu wollen, und es mit "nette Denkanstöße" abzuhaken.

02.09.2016, 10:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von Landarzar
dann habe ich gezeigt das ein Maximum $\begin{eqnarray*} \max_{k\in\mathbb{N}^+} |A_k| \end{eqnarray*}$ existiert.

Ist schon irgendwie seltsam das lesen zu müssen, da ich oben ja $\begin{align*} \left| A_{r+\left((r+1)2^r+3\right)!} \right| \geq 2^{r-1} \end{align*}$ für alle $\begin{align*} r\in\mathbb{N}^+ \end{align*}$ , und damit auch

$\begin{align*} \sup_{k\in\mathbb{N}^+} \left| A_k \right| \geq \sup_{r\in\mathbb{N}^+} \left| A_{r+\left((r+1)2^r+3\right)!} \right| = \infty \end{align*}$

gezeigt habe. unglücklich

02.09.2016, 10:41

Landarzar

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Ich muss mich wirklich entschuldigen. Ich hätte einen Moment länger drüber nachdenken sollen. Danke HAL für die Erläuterung und den Beweis!

02.09.2016, 16:54

HAL 9000

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Das mit der Fakultät ist natürlich dick aufgetragen, es hätte auch die deutlich kleinere Zahl

$\begin{align*} k = r + \operatorname{kgV}\left\{ n(r+1)+3 \bigm| n=2^{r-1}+1,\ldots,2^r \right\} \end{align*}$

getan. Für $\begin{align*} r=4 \end{align*}$ ergibt das etwa $\begin{align*} k=2\,074\,567\,766\,548 \end{align*}$ und das zugehörige $\begin{align*} A_k \end{align*}$ enthält mindestens die folgenden acht $\begin{align*} (n,m) \end{align*}$ -Paare:

$\begin{align*} (9, 43\,220\,161\,803) \end{align*}$
$\begin{align*} (10, 39\,142\,788\,048) \end{align*}$
$\begin{align*} (11, 35\,768\,409\,768) \end{align*}$
$\begin{align*} (12, 32\,929\,647\,088) \end{align*}$
$\begin{align*} (13, 30\,508\,349\,508) \end{align*}$
$\begin{align*} (14, 28\,418\,736\,528) \end{align*}$
$\begin{align*} (15, 26\,597\,022\,648) \end{align*}$
$\begin{align*} (16, 24\,994\,792\,368) \end{align*}$

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