Fehler bei der Bestimmung der Orthonormalbasis gesucht

01.09.2016, 22:10	Smoenybfan	Auf diesen Beitrag antworten »
Fehler bei der Bestimmung der Orthonormalbasis gesucht Meine Frage: Hallo zusammen. Ich soll zu der durch $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ definierten Bilinearform <x,y>=x^tAy (also x transponiert) eine Orthonormalbasis von R^2 finden. Meine Ideen: Nun habe ich dafür die Standardbasis $\begin{eqnarray} b= \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gewählt und wollte diese mit Gram-Schmidt orthonormalisieren. Diese ONB nenne ich v. Mein Verfahren: $\begin{eqnarray} <br /> v_{1} = \frac{b_{1}}{\|\|b_{1}\|\|} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} normalisieren. \\<br /> <br /> v_{2}'= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = - <\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}> \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\<br /> <br /> \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 && 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -1 \\<br /> <br /> v_{2}'= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} orthogonalisieren\\<br /> <br /> v_2 = \frac{v_{2}'}{\|\|v_{2}'} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}, denn \|\| v_{2}'\|\| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} normalisieren \end{eqnarray}$ Aber Test: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 && 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \neq 0 \\<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Kann mir jemand sagen, wo ich den Fehler gemacht habe? Danke jedenfalls schon mal. Schönen Abend noch
01.09.2016, 23:00	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Dir scheint nicht bewußt zu sein, dass die Norm von der Bilinearform abhängt.

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