Konstruieren eines Ringhomomorphismus

02.09.2016, 12:32

Julia 004

Konstruieren eines Ringhomomorphismus

Meine Frage:
Ich soll einen Ringhomomorphismus f: R[X]->C finden mit folgenden Eigenschaften:
1. f(a)=a $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R
2. f(X)= $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ = 3,14...

Meine Ideen:
In einem Ringhomomorphismus müssen ja die 3 Eigenschaften gelten:
1) f(1)= 1
2) f(ab)= f(a)f(b)
3) f(a+b)= f(a)+f(b)

Zu 1): f(1)= 1 ist durch die vorgebene Eigenschaft 1. bereits erfüllt, da 1 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R

Zu 2) Man weiß, dass f(aX)= f(a)f(X)=a $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$
Außerdem muss gelten f(2a)= 2a

Zu 3)Es gilt: f(a+X) = f(a)+f(X) = a+ $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$
und f(a+b)=a+b mit b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R

Könnte ich mir den Ringhomomorphismus dann wie folgt definieren?

f: f : R[X]->C
+ : (ka+mX)+(k'a'+m'X)-> k(a+a')+(m+m') $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$
. : (ka+mX).(k'a'+m'X)-> kk'aa'+kam' $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ +mk'a' $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ +mm' $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ^2
=kk'aa'+(kam'+mk'a') $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ +mm' $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ^2

Das kann nicht stimmen oder? Denn mein Ringhomomorphismus hätte ja in meinem Fall Zielbereich R, er soll aber eigentlich Zielbereich C haben.

02.09.2016, 13:35

tatmas

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Hallo,

der Homomorphismus ist durch diese Bedingung bereits eindeutig definiert (nennt sich universelle Eigenschaft des Polynomrings) und das Bild sind die reellen Zahlen.
Der Homomorphismus hat sogar einen Namen: Einsetzhomomorphismus.

Dein Beweis ist aber leider komplett falsch, ebenso wie deine Definition.
Du sollst hier einen Homomorphismus definierem, was du hinschreibst ist aber + und * auf dem Polynomring.
Du musst hier definieren worauf ein beliebiges Polynom (also auch eines vom Grad größer als 1) abgebildet wird. Ein Homomorphismus ist ja insbesondere eine Abbildung.

Für die Hom.eigenschaft gilt es wieder für beliebige Polynome p,q zu zeigen, dass
f(p+q)=f(p)+f(q)
f(p*q)=f(p)*f(q).
Du zeigst das leider nur für spezielle.

02.09.2016, 17:37

Julia 004

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R[X] ist ja der Potenzreihenring. In diesem sind Addition und Multiplikation ja definiert wie im folgenden Skript S. 67, Definition 6.18.

https://www.uni-frankfurt.de/60889078/St...-Skript2016.pdf

Ich stehe glaube ich gerade auf dem Schlauch.
Was du meinst, dass ich für die Addition zeigen soll ist doch das hier oder?

f ( $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} aX^k \end{eqnarray*}$ ) + f ( $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n} bX^i \end{eqnarray*}$ ) = f ( $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} (a+b)X^k \end{eqnarray*}$ )
Dabei ist a = $\begin{eqnarray*} a_{k} \end{eqnarray*}$ und b = $\begin{eqnarray*} b_{k} \end{eqnarray*}$

Falls du das meinst verstehe ich nicht recht wie ich das zeigen soll.

02.09.2016, 17:49

tatmas

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Zitat:

R[X] ist ja der Potenzreihenring

Nein, R[X] ist der Polynomring.
Der Potenzreihenring hat zwei paare von eckigen Klammern.

Zitat:

Falls du das meinst verstehe ich nicht recht wie ich das zeigen soll.

Du musst als allererstes den Homomorphismus/ die Abbildung f definieren, sonst kannst du hier auch gar nichts beweisen.

Dann musst du dir klar machen was ein Polynom überhaupt ist.
Ein Polynom a (vom Grad kleiner n) lässt sich schreiben als $\begin{eqnarray*} a=\sum_{k=0}^n a_k X^k \end{eqnarray*}$ ,
oder auch als $\begin{eqnarray*} a=a_0 + a_1X + \ldots + a_n X^n \end{eqnarray*}$ damit sind die $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ jeweils aus dem Grundring, hier also den rationalen Zahlen.

02.09.2016, 18:22

Julia 004

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Achso. Ok dann nochmal neu:

Meine Idee:

Sei p= $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} a_{1} \end{eqnarray*}$ X + $\begin{eqnarray*} a_{2} \end{eqnarray*}$ X^2+... + $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ X^n mit n< $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$

f: R[X] ->C
p -> $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} a_{1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} a_{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ^2+... + $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ^n
mit n< $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$

Allerdings kommt mir das etwas zu einfach vor...

Sei m<=n
Z.z. f ( $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} aX^k \end{eqnarray*}$ ) + f ( $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^{m} bX^i \end{eqnarray*}$ ) = f ( $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} (a+b)X^k \end{eqnarray*}$ )
Mit $\begin{eqnarray*} b_{k} \end{eqnarray*}$ = 0 für alle k>m

f ( $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} aX^k \end{eqnarray*}$ ) + f ( $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^{n} bX^i \end{eqnarray*}$ )
= $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} a_{1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} a_{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ^2+... + $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ^n + $\begin{eqnarray*} b_{0} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} b_{1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} b_{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ^2+... + $\begin{eqnarray*} b_{m} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ^m = ( $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} b_{0} \end{eqnarray*}$ ) + ( $\begin{eqnarray*} a_{1} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} b_{1} \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ + ( $\begin{eqnarray*} a_{2} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} b_{2} \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ + ... + ( $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ = f ( $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} (a+b)X^k \end{eqnarray*}$ )

Könnte man das so für die Addition machen?

02.09.2016, 18:34

tatmas

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Zitat:

Allerdings kommt mir das etwas zu einfach vor...

Ne, das ist komplett richtig. Das ist ja gerade der Einsetzhomomorphismus, da setzt für X pi ein.
Du kannst die Abbildungsvorschrift von f auch evtl. etwas prägnanter so schreiben:
$\begin{eqnarray*} f(\sum_{k=0}^n a_k X^k) = \sum_{k=0}^n a_k \pi^k \end{eqnarray*}$

Nach was stilistisches:
Statt

Zitat:

n< $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$

ist $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gebräuchlicher und in meinen Augen auch schöner.

Zitat:

Könnte man das so für die Addition machen?

Prinzipiell ja; allerdings gehören die Indizes überall in die Summen.

02.09.2016, 18:39

Julia 004

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Ok vielen Dank für deine Hilfe und Geduld. smile

Das mit den Indizes weiß ich, allerdings bin ich wie man wahrscheinlich merkt noch relativ neu hier und bekomme das mit den Tools noch nicht so ganz auf die Reihe.

02.09.2016, 18:43

tatmas

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Index schreibt sich hier wie auch sonst in LaTeX mit Unterstrich; b_k ergibt $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ .
LaTeX üben sollte man so früh wie möglich einfangen, das spart Zeit und nerven bei der Abschlussarbeit, die wirst du es spätestens dann massiv brauchen.

03.09.2016, 00:11

Julia 004

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Ja ist auf jeden Fall sehr sinnvoll für Bachelor Studenten, aber ich studiere nur gymnasiales Lehramt, aber trotzdem finde ich es interessant zu lernen, also danke schön.

03.09.2016, 09:59

Elvis

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Zitat:

Original von Julia 004
Ja ist auf jeden Fall sehr sinnvoll für Bachelor Studenten, aber ich studiere nur gymnasiales Lehramt, aber trotzdem finde ich es interessant zu lernen, also danke schön.

Bitte sage und denke nicht "nur gymnasiales Lehramt". Du trägst Verantwortung für die nächste Generation und die Menschheit. Lerne gut, werde weise, lehre gut und verbessere die Welt.

06.09.2016, 02:16

Julia 004

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Erweiterte Fragestellung
Frage:
Ich möchte nun
i) noch den Kern bestimmen und
ii) ein normiertes Polynom $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ ker(f) finden

Meine Idee:
i) Also der Kern bzgl. Addition ist ker(f) =0, also alle Elemente die auf 0 abgebildet werden.

$\begin{eqnarray*} f(\sum_{k=0}^n a_k X^k) = \sum_{k=0}^n a_k \pi^k \end{eqnarray*}$ = 0

Auf jeden Fall die 0 liegt im Kern und z.B. auch $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ X^(k-1) - X^k
Das gleiche kann man natürlich auch mit $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ^a X^k -X^(k+a) machen.

Ich weiß aber nicht wie ich dies zusammengefasst aufschreiben kann.

Zu ii)
normiert bedeutet ja das $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ = 1 ist.
Somit könnte man z.B. doch das Polynom:

1*X^n - $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ^(n-1) * X $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ ker(f) nehmen oder?

Zuletzt noch eine Frage nebenbei:
Ist der Kern eines Ringhomomorphismus immer ein Ideal?

06.09.2016, 11:34

Elvis

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1. Um welchen Polynomring R[X] geht es hier ? Wo sollen die Koeffizienten herkommen ? Meinst Du reelle Polynome aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R[X] \end{eqnarray*}$ oder rationale Polynome aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ oder was ? Im reellen Fall ist die Antwort völlig klar (schätzungsweise seit C.F.Gauß um 1800), im rationalen seit 1882 (F.Lindemann) auch.
2. Ja. Bei Gruppen sind die Kerne von Homomorphismen genau die Normalteiler. Bei Ringen sind die Kerne von Homomorphismen genau die Ideale.

06.09.2016, 17:18

Julia 004

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Ich betrachte weiterhin den Ringhomomorphismus
f: R[X] ->C
p -> $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} a_{1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} a_{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ^2+... + $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ^n
Somit sind meine Elemente aus R[X].
Was meinst du mit völlig klar? Bezieht sich das auf das normierte Polynom?

Ich weiß allerdings immer noch nicht wie ich den Kern eindeutig bestimmen kann.

06.09.2016, 18:59

Elvis

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Wenn Du es mir nicht verraten möchtest, nehme ich mal an, Du meinst mit R= $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ die reellen Zahlen. Wir wissen doch, dass ein Polynom $\begin{eqnarray*} p(X)\in R[X] \end{eqnarray*}$ genau dann eine Nullstelle $\begin{eqnarray*} x_0\in R \end{eqnarray*}$ in einem beliebigen Ring $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ hat, wenn das Polynom durch $\begin{eqnarray*} X-x_0 \end{eqnarray*}$ teilbar ist. Also gilt $\begin{eqnarray*} p(X)\in \mathbb R[X], p(\pi)=0\Rightarrow p(X)=(X-\pi)q(X),q(X)\in\mathbb R[X]\Rightarrow ker(f)=(X-\pi)\mathbb R[X] \end{eqnarray*}$ , und es ist nicht sehr erstaunlich, dass der Kern ein Hauptideal in einem Hauptidealring ist.

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