Inverses in Q[X] finden

02.09.2016, 12:51

Julia 004

Inverses in Q[X] finden

Meine Frage:
Finde das multiplikative Inverse zu 1+X $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Q[X]

Meine Ideen:
(1+X)(a+bX)= 1+0X
- durch ausprobieren lösen -> hat aber nicht geklappt
- durch umstellen bekommt man 1/(1+X) raus, was jedoch kein Element von Q[X] ist.
Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich hier systematisch ran gehen kann.

02.09.2016, 13:27

tatmas

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Hallo,

ist das die exakte Aufgabenstellung? Dann kannst du, egal wie systematisch du drangehst, ewig suchen; 1+X ist nicht invertierbar.
Ich vermute daher, dass es um einen anderen Ring geht, namentlich Q[[X]].

02.09.2016, 16:03

Julia 004

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Was ist denn der Unterschied zwischen Q[X] und Q[[X]]?
Und wie finde ich das Inverse in Q[[X]]? Bzw. wie beweise ich, dass es kein multiplikatives Inverses von 1+X in Q[X] gibt?

02.09.2016, 17:33

tatmas

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Das eine ist der Polynomring, der andere der Ring der formalen Potenzreihen.
Die Frage ist, was ist denn jetzt wirklich die Aufgabenstellung. Schau das bitte jetzt nochmal genau nach und teile es hier mit.

Zitat:

Bzw. wie beweise ich, dass es kein multiplikatives Inverses von 1+X in Q[X] gibt?

Da die rationalen Zahlen ein Integritätsring sind, gilt deg(f*g)=deg(f)+deg(g) für brlirbigr Polynome f,g und daher sind die Einheiten in Q[X] gerade die Einheiten von Q.

02.09.2016, 17:54

Julia 004

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Du hast Recht es geht um Q[[X]], also den Potenzreihenring.

Dennoch habe ich noch eine kurze Frage zu deiner Begründung
"Da die rationalen Zahlen ein Integritätsring sind, gilt deg(f*g)=deg(f)+deg(g) für brlirbigr Polynome f,g und daher sind die Einheiten in Q[X] gerade die Einheiten von Q."
Wie kannst du daraus schließen, dass die Einheiten in Q[X] gerade die in Q sind?

02.09.2016, 18:02

Elvis

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Das ist trivial.

02.09.2016, 18:28

tatmas

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Zitat:

Wie kannst du daraus schließen, dass die Einheiten in Q[X] gerade die in Q sind?

Wende meine Begründung auf die definierende Gleichung der Invertierbarkeit 1=fg an.

Zitat:

Du hast Recht es geht um Q[[X]], also den Potenzreihenring.

Dann hast du im Wesentlichen zwei Möglichkeiten:
1) Zu Fuß: Sei $\begin{eqnarray*} b= \sum_{k=0} ^\infty b_k X^k \end{eqnarray*}$ das Inverse, dann gilt:
$\begin{eqnarray*} 1=(1+X) \sum_{k=0}^\infty b_k X^k = b_0+\sum_{k=1}^\infty (b_k+ b_{k-1}) X^k \end{eqnarray*}$
und dann rekursiv die $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ bestimmen.
2) Erinnere dich an die geometrische Reihe, dann lässt sich die Inverse direkt hinschreiben.

03.09.2016, 19:49

Julia 004

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Also ich kenne zwar die geometrische Reihe bin aber nicht sicher, wie ich damit direkt das Inverse bestimmen kann, deshalb habe ich es rekursiv versucht:

1=(1+X) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_{k} X^k \end{eqnarray*}$ = ... =
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} (a_{k}+a_{k-1} ) X^k \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$
Also hab die Zwischenschritte alle aufgeschrieben, hab mir hier aber die Arbeit gespart.
Jetzt kann ich das ganze umschreiben in:
1- $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} (a_{k}+a_{k-1} ) X^k \end{eqnarray*}$

Da 1, als auch $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Q, aber nicht in Q[[X]] folgt, dass beide Seiten gleich 0 sein müssen.
Daraus folgt $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ = 1.
Und für $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} (a_{k}+a_{k-1} ) X^k \end{eqnarray*}$ folgt:
$\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} a_{1} \end{eqnarray*}$ = 0 -> $\begin{eqnarray*} a_{1} \end{eqnarray*}$ = - $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ = -1
$\begin{eqnarray*} a_{1} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} a_{2} \end{eqnarray*}$ =0 -> $\begin{eqnarray*} a_{2} \end{eqnarray*}$ = - $\begin{eqnarray*} a_{1} \end{eqnarray*}$ =1
...
$\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} a_{n-1} \end{eqnarray*}$ =0 -> $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ = - $\begin{eqnarray*} a_{n-1} \end{eqnarray*}$ =+/- (1)
....

Also ist das Inverses zu (1+X):
(1-X+X^2-X^3+X^4-X^5+/- .... = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} X^{2k} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} X^{2k+1} \end{eqnarray*}$

Und die beiden Summen könnte man dann noch zusammenfassen.

Stimmt das so?

Und wenn ja könntest du mir vielleicht nochmal erklären, wie man das direkt mit der geometrischen Reihe machen kann? smile

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