Homomorphismusinvarianz von Untergruppen/Normalteilern

06.09.2016, 02:48

flori123

Homomorphismusinvarianz von Untergruppen/Normalteilern

Ich sitze gerade an Aufgabe 4. aus Abschnitt 1.2 vom "Algebra-Bosch". Die Aufgabe lautet wie folgt:

Es sei $\begin{eqnarray*} \varphi : G \rightarrow G' \end{eqnarray*}$ ein Gruppenhomomorphismus. Man zeige:

Ist $\begin{eqnarray*} H \subset G \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe, so ist $\begin{eqnarray*} \varphi(H) \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe in $\begin{eqnarray*} G' \end{eqnarray*}$ . Die entsprechende Aussage für Normalteiler ist allgemein nur dann richtig, wenn $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ surjektiv ist.
Ist $\begin{eqnarray*} H'\subset G' \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe bzw. ein Normalteiler in $\begin{eqnarray*} G' \end{eqnarray*}$ , so gilt dasselbe für $\begin{eqnarray*} \varphi^{-1}(H')\subset G \end{eqnarray*}$ .

Derzeit "erschlage" ich die Aussagen bis auf den zweiten Teil von 1., indem ich die Untergruppenaxiome bzw. die Gleichheit der Rechts- und Linksnebenklassen stur beweise, und dabei einfache Gegebenheiten wie etwa $\begin{eqnarray*} \forall a,b\in G : \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \forall a \in G :\varphi(a^{-1}) = \left(\varphi(a)\right)^{-1} \end{eqnarray*}$ benutze.
Meine Fragen sind nun:

Existiert ein eleganter Beweis ohne "Axiome abklappern"?
Was für ein Beispiel gibt es für ein nicht surjektives $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ sowie einen Normalteiler $\begin{eqnarray*} H\in G \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \varphi(H) \end{eqnarray*}$ kein Normalteiler in $\begin{eqnarray*} G' \end{eqnarray*}$ ist?

06.09.2016, 05:06

Mulder

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RE: Homomorphismusinvarianz von Untergruppen/Normalteilern

Zitat:

Original von flori123
Existiert ein eleganter Beweis ohne "Axiome abklappern"?

Was ist daran denn so unelegant? Finde ich völlig ok.

Zu der Surjektivität: Ein Gegenbeispiel kannst du dir leicht selber bauen. Im Grunde brauchst du nur irgendeine Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und eine Untergruppe $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ , die kein Normalteiler ist (da hattet ihr doch sicher mal Beispiele in der Vorlesung?) und betrachtest dann einfach die Inklusion

$\begin{eqnarray*} \varphi: U \hookrightarrow G \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist natürlich normal in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ (trivial), aber eben nach Voraussetzung nicht normal in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .

06.09.2016, 15:36

flori123

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RE: Homomorphismusinvarianz von Untergruppen/Normalteilern
Gut, ich war mir nur nicht sicher, ob es vielleicht noch etwas anderes gibt.

Zum Gegenbeispiel, da hast du mich auf eine Idee gebracht: Da könnte ich dann ja die zu $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ symmetrische Gruppe $\begin{eqnarray*} \mathfrak S_3 \end{eqnarray*}$ nehmen, und mit dem Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \varphi : \mathfrak S_3 \rightarrow \mathfrak S_3 , g \mapsto g^{-1} \end{eqnarray*}$ nehmen, und dann die Elemente $\begin{eqnarray*} g_1 =\mathrm{id}_{G} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_2 = \begin{pmatrix} 1&2&3\\2&1&3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als Untergruppe (beide sind selbstinvers), also $\begin{eqnarray*} H=\{g_1,g_2\} \end{eqnarray*}$ . Dann zeige ich, dass das kein Normalteiler ist (ich nehme z.B. $\begin{eqnarray*} g_3 = \begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , und zeige dann, dass $\begin{eqnarray*} g_3Hg_3^{-1}\nsubseteq H \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} g_3g_2g_3^{-1} = g_3g_2g_3 \notin H \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \mathfrak S_3 \end{eqnarray*}$ ist nicht abelsch und $\begin{eqnarray*} g_3 \end{eqnarray*}$ ist selbstinvers), und bin jetzt fertig, da $\begin{eqnarray*} \varphi(H)=H \end{eqnarray*}$ ist (alle Elemente sind selbstinvers), und $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ ja kein Normalteiler in $\begin{eqnarray*} \mathfrak S_3 \end{eqnarray*}$ ist. In diesem speziellen Fall bräuchte ich dann gar keine Einbettung, oder?

06.09.2016, 16:48

Mulder

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RE: Homomorphismusinvarianz von Untergruppen/Normalteilern
Offen gesagt verstehe ich jetzt nicht, worauf genau du da hinaus wolltest. Ja, g1 und g2 bilden eine Untergruppe der S3. Und ja, diese ist kein Normalteiler in der S3.

Aber was genau wolltest du da jetzt konstruieren? Ein Beispiel, in dem ein "Nicht-Normalteiler" wieder auf einen "Nicht-Normalteiler" abgebildet wird? verwirrt

Wozu?

Oder wolltest du eigentlich $\begin{eqnarray*} \varphi : H \rightarrow \mathfrak S_3 , g \mapsto g^{-1} \end{eqnarray*}$ betrachten? Geschrieben hattest du etwas anderes.

Was stört dich an der Inklusion? Das ist eine ganz banale Abbildung, die sich hier wunderbar eignet. Aber letztlich bleibt das natürlich deine Sache. Vom Prinzip her machst du doch auch exakt das gleiche: Du ordnest den Elementen von H wieder Elemente von H zu und machst dir zunutze, dass H natürlich normal in H ist, aber in der gesamten S3 eben nicht mehr. Ob man da nun mit der Identität oder mit g->g^{-1} arbeitet, erscheint mir nebensächlich.

06.09.2016, 16:59

flori123

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RE: Homomorphismusinvarianz von Untergruppen/Normalteilern
Ich finde die Herangehensweise mit der Inklusion sehr gut, ich habe dann auch gleich die erste Untergruppe genommen, die mir eingefallen ist. Dann hatte ich aber einen Denkfehler (es bringt natürlich nichts, einen Nicht-Normalteiler auf einen Nicht-Normalteiler abzubilden). Jetzt ist mir aber alles klar, das $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ von dir ist natürlich besser. Mir ist nur aufgefallen, dass man in diesem Fall keine Einbettung braucht, sondern es auch über das Inverse machen könnte (was natürlich nichts daran ändert, dass die Einbettung viel klarer und deutlicher das betont, was man beweisen will)

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