Modifiziertes Ziehen ohne Zurücklegen?

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leChef1001 Auf diesen Beitrag antworten »
Modifiziertes Ziehen ohne Zurücklegen?
Hallo zusammen!

Gegeben:
Eine Urne, rote, blaue, grüne und gelbe Kugeln, die Gesamtzahl der Kugeln beträgt 100.
Es wird 3 Mal je eine Kugel gezogen.
Nach jeder Ziehung werden aber alle Kugeln der gezogenen Farbe aus der Urne entfernt.

Bsp:
1. Ziehung: Eine rote Kugel wird gezogen -> alle roten Kugeln weden aus der Urne entfernt (es verbleiben also nur noch blaue, grüne und gelbe Kugeln)
2. Ziehung: es wird eine grüne Kugel gezogen ->alle grünen Kugeln weden aus der Urne entfernt (es verbleiben also nur noch blaue und gelbe Kugeln)
3. Ziehung: es wird eine gelbe Kugel gezogen.

Gesucht:
Wie viele Kugeln pro Farbe müssen vor der ersten Ziehung in der Urne sein, damit die Wahscheinlichkeit nach 3 Ziehungen eine rote Kugel zu ziehen 50%, eine grüne zu ziehen 20%, eine gelbe und eine blaue zu ziehen je 10% beträgt?

Ich habe überhaupt keinen Ansatz dafür.

Hat jemand eine Idee?

Danke und Gruß,
Clemens
leoclid Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast vier Variablen.

: Anzahl roter Kugeln
: Anzahl blaue Kugeln
: Anzahl grüner Kugeln
: Anzahl gelber Kugeln

Da du weist, dass es insgesamt 100 Kugeln sind, kannst du
= setzen.

Jetzt willst du aus diesen 4, bzw. 3 Variablen ermitteln, wie hoch die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass man beim 4. Zug eine rote Kugel zu ziehen.
Dafür gibt es verschiedene Möglichkeiten:
1. Zug: Blaue Kugel ziehen, 2. Zug: Grüne Kugel ziehen, 3. Zug: Gelbe Kugel ziehen.
1. Zug: Blaue Kugel ziehen, 2. Zug: Gelbe Kugel ziehen, 3. Zug: Grüne Kugel ziehen.
usw.
du musst nun alle diese Wahrscheinlichkeiten zusammenrechnen und mit 50 % gleichsetzen. Du kommst dann auf einen Term der Form:



Jetzt überlegst du dir, wie hoch die WK dafür ist, beim 4. Zug eine grüne, eine gelbe und eine blaue zu ziehen, du erhälst insgesamt also ein Gleichungssystem aus 4 Gleichungen, welches es aufzulösen gilt.
leChef1001 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Rückmeldung,

ich glaube ich habe mich nicht richtig ausgedrückt, oder ich verstehe Deine Antwort nicht.

Ich möchte nicht die Wahrscheinlichkeit beim 4. Zug eine rote Kugel zu ziehen berechnen, sondern ich möchte wissen wieviele rote Kugeln am Anfang in der Urne sein müssen, dass die Wahrscheinlichkeit, nach 3 Zügen eine rote Kugel gezogen zu haben 50% beträgt.

Danke und Gruß,
Clemens
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Also meinst du mit "nach 3 Zügen" eigentlich, dass bei den 3 Ziehungen eine gezogene rote Kugel dabei war! Ist wirklich sehr missverständlich ausgedrückt.


Die von dir angegebenen gewünschten Wahrscheinlichkeiten sind dann aber vollkommen widersinnig:

Nehmen wir das Gegenteil, d.h., die Wahrscheinlichkeiten, dass die entsprechende Farbe nicht in den drei Ziehungen vorkommt. Offenkundig entspricht das der Wahrscheinlichkeit, dass genau diese Farbe die einzig übrig bleibende Farbe in der Urne nach den drei Ziehungen ist. In der Summe müssen diese vier Komplementärwahrscheinlichkeiten daher gleich 100% sein, also muss die Summe der vier Wahrscheinlichkeiten selbst gleich 400%-100% = 300% sein. Bei dir sind es lediglich 50%+20%+10%+10%=90%. Erstaunt1
leChef1001 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo HAL9000,

ja, ich meinte, dass bei den 3 Ziehungen eine rote Kugel dabei war.
Bei den Wahrscheinlichkeiten habe ich mich verschrieben.
Sie sollen 50%|30%|10%|10% betragen.

Danke und Gruß,
Clemens
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Macht trotzdem keinen Sinn, siehe voriger Beitrag. Letzten Endes ist es dann wohl doch eher die von leoclid angenommene Interpretationsvariante, die würde zumindest bei einer Summe 50%+30%+10%+10%=100% Sinn machen.
 
 
leChef1001 Auf diesen Beitrag antworten »

Du weißt doch worauf ich hinaus möchte.. ;-)
Meine genannten Zahlen mal 3.
Sie sollen 150%|90%|30%|30% betragen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von leChef1001
Du weißt doch worauf ich hinaus möchte.. ;-)

Nein, weiß ich nicht. Das ist durchaus nicht selbstverständlich, Wahrscheinlichkeiten in einem derart unsymmetrischen Szenario (was den Ziehungsablauf betrifft) einfach zu verdreifachen. unglücklich

Zitat:
Original von leChef1001
Sie sollen 150%|90%|30%|30% betragen.

150% Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen... Forum Kloppe
leChef1001 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

natürlich nicht mal 3, war von deinen 300% ziemlich verwirrt... ;-)
Deine Erklärung, wieso es auch mit den anderen Zahlen keinen Sinn ergibt, verstehe ich nicht.

Zitat:
Nehmen wir das Gegenteil, d.h., die Wahrscheinlichkeiten, dass die entsprechende Farbe nicht in den drei Ziehungen vorkommt. Offenkundig entspricht das der Wahrscheinlichkeit, dass genau diese Farbe die einzig übrig bleibende Farbe in der Urne nach den drei Ziehungen ist

Verstehe ich noch

Zitat:
In der Summe müssen diese vier Komplementärwahrscheinlichkeiten daher gleich 100% sein, also muss die Summe der vier Wahrscheinlichkeiten selbst gleich 400%-100% = 300% seint

Verstehe ich nicht mehr.
Wenn ich die Komplementärwahrscheinlichkeiten aufaddiere komme ich auf 50+70+90+90 = 300. Aber weshalb sollte ich diese addieren?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von leChef1001
Wenn ich die Komplementärwahrscheinlichkeiten aufaddiere komme ich auf 50+70+90+90 = 300. Aber weshalb sollte ich diese addieren?

Habe ich oben erklärt - vielleicht liest du es dir nochmal durch. unglücklich

Aber nochmal, in anderen Worten, vielleicht begreifst du es dann endlich:

Nehmen wir Farbe grün: Du forderst, dass mit 30% Wahrscheinlichkeit diese Farbe unter den drei gezogenen Kugeln dabei ist. Das ist gleichbedeutend damit, dass sie mit 70% Wahrscheinlichkeit nicht mit dabei ist. Nun ist es aber so, dass aufgrund deines Verfahrens nach drei Ziehungen von den anfangs vier Farben nur noch eine in der Urne vorhanden ist. Egal wie der Ziehungsverlauf ist, es kann also nicht vorkommen, dass nach den drei Ziehungen noch mehr als eine Farbe in der Urne vorhanden ist. D.h., die vier Ereignisse, dass nach drei Ziehungen jeweils noch rot, blau, grün oder gelb in der Urne vorhanden sind, sind disjunkt (!!!), und überdies tritt genau eines dieser Ereignisse ein! Damit muss deren Wahrscheinlichkeitssumme zwingend gleich 100% sein, andernfalls sind die Angaben der Aufgabe komplett widersprüchlich.

Und genau das ist bei dir der Fall, dennn bei dir addieren sich diese Wahrscheinlichkeiten zu 50%+70%+90%+90%=300% - nix mit disjunkter Zerlegung dieser Ereignisse. Finger2
leChef1001 Auf diesen Beitrag antworten »

Ha, nun hab ichs tatsächlich endlich begriffen.
Wenn man nur zwei Mal ziehen würde, liese sich das dann irgendwie lösen?

Danke und Gruß
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, auch nicht. Generell kann man folgendes sagen:


Wenn wir Bälle in verschiedenen Farben haben, und dein Ziehungsprinzip "alle Bälle der gezogenen Farbe werden aus der Urne entfernt" konsequent beibehalten, dann gilt für die Ereignisse

... Farbe ist in den ersten Ziehungen schon gezogen worden ()

offenbar ("jede Ziehung ergibt eine neue, bisher nicht gezogene Farbe") und damit auch .

Du hast hier Farben, und eine Konsequenz ist, dass die entsprechenden Vorkommenswahrscheinlichkeiten nach k=1,2,3 Ziehungen in der Vierersumme tatsächlich 100%, 200% bzw. 300% sein müssen - jede einzelne Farbwahrscheinlichkeit aber natürlich nach wie vor im Bereich zwischen 0% und 100% liegen muss!!!



Beispiel: Rechnen wir mal konkret aus, was das etwa für anfänglich 50 rote, 30 grüne und je 10 blaue und gelbe Kugeln bedeuten würde (in der Reihenfolge als Farben nummeriert). Nach dem ersten Zug ist einfach:



Nach dem zweiten Zug ist es schon komplizierter:





.

Summa summarum .
leChef1001 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für Deine Mühe! Freude

Wenn ich nun folgende Verteilungen nach zwei Ziehungen möchte:
75%|50%|50%|25%
Die Summe ist nun 200%.

Wie wäre dann der Ansatz?

Danke und Gruß!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, dieselbe Rechnung wie oben, nur mit Variablen:

Seien die Anzahlen der Kugeln mit Anzahlsumme , dann hat rot nach zwei Ziehungen die Wahrscheinlichkeit

.

D.h., die erste Gleichung lautet

.

.

Analog lauten die drei anderen

.

.

.

Außer gilt wegen der gleichen Endwahrscheinlichkeiten aus Symmetriegründen , und eine der vier Gleichungen kann man weglassen, weil sie sich aus den anderen ergibt. Man hat also letztlich mit gegebenen das Gleichungssytem



Das Gleichungssystem ist wirklich eklig - viel Spaß beim Lösen. Teufel
leChef1001 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen herzlichen Dank dafür!

Den Ansatz und ei Gleichgunen denke ich habe ich nun wirklich verstanden.
Ich werde das ganze vermutlich für 50-60 Farben benötigen.
Diese Gleichungen will ich mir dann eigentlich gar nicht anschauen...

Grüße
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