Schwaches Robinson-Konsistenz-Theorem

08.09.2016, 23:17

Kääsee

Schwaches Robinson-Konsistenz-Theorem

Guten Abend zusammen, ich habe folgendes Theorem:

Zitat:

Seien L', L'' Erweiterungen der Sprache L mit $\begin{eqnarray*} L'\cap L''=L \end{eqnarray*}$ . Sei T eine abzählbare, vollständige Theorie aus $\begin{eqnarray*} L_{\omega_1\omega} \end{eqnarray*}$ (also die Sprache, die auch noch abzählbar unendliche Dis- und Konjunktionen zulässt). Sei $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ein Satz aus $\begin{eqnarray*} L'_{\omega_1\omega} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ einer aus $\begin{eqnarray*} L''_{\omega_1\omega} \end{eqnarray*}$ . Falls $\begin{eqnarray*} T\cup\{\varphi\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T\cup\{\psi\} \end{eqnarray*}$ beide ein Modell besitzen, dann auch $\begin{eqnarray*} T\cup\{\varphi, \psi\}. \end{eqnarray*}$

Dabei darf ich das Theorem für L benutzen:

Zitat:

Seien L', L'' Erweiterungen von L mit $\begin{eqnarray*} L'\cap L''=L \end{eqnarray*}$ . Sei T eine vollständige Theorie aus L. Sei $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ein Satz aus L' und $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ einer aus L''. Falls $\begin{eqnarray*} T\cup\{\varphi\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T\cup\{\psi\} \end{eqnarray*}$ beide konsistent sind, dann auch $\begin{eqnarray*} T\cup\{\varphi, \psi\}. \end{eqnarray*}$

und noch Scott's Isomorphismus-Theorem:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} \mathcal A \end{eqnarray*}$ eine abzählbare L-Struktur. Dann gibt es einen Satz $\begin{eqnarray*} \varphi\in\L_{\omega_1\omega} \end{eqnarray*}$ , s.d. für alle abzählbaren L-Strukturen $\begin{eqnarray*} \mathcal B \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \mathcal B \vDash \varphi \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} \mathcal B \simeq\mathcal A \end{eqnarray*}$ .

Ok, so weit, so gut. Zunächst einmal ist ja T vollständig in $\begin{eqnarray*} L_{\omega_1\omega} \end{eqnarray*}$ , falls T ein Modell besitzt und je zwei Modelle äquivalent sind, das heißt, sie beweisen genau die gleichen Sätze aus $\begin{eqnarray*} L_{\omega_1\omega} \end{eqnarray*}$ . Ist das so weit richtig?

Und Konsistenz sagt ja aus, dass es keinen Satz gibt, der beweisbar ist und auch dessen Negation beweisbar ist, oder?

Ich sehe nur einfach nicht, wie ich eins zum Anderen zusammensetzen kann und was es eine Rolle spielt, dass T abzähbar ist. Vielleicht kann mir jemand auf die Sprünge helfen. Wäre echt lieb!
Vor allen Dingen: ist es auch in $\begin{eqnarray*} L_{\omega_1\omega} \end{eqnarray*}$ so, dass Konsistenz und Erfüllbarkeit zusammenfallen?

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