Satz von Cayley: ZSn(G)=G

09.09.2016, 15:21	Julia 004	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Cayley: ZSn(G)=G Meine Frage: Sei G eine endliche Gruppe, wie im Satz von Cayley (Eine Gruppe G der Ordnung n ist isomorph zu einer Untergruppe von Sn) Z.z. $\begin{eqnarray} Z_{Sn} \end{eqnarray}$ (G)= G Meine Ideen: Die Definition des Zentrums lautet: $\begin{eqnarray} Z_{Sn} \end{eqnarray}$ (G)= {a $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ Sn; ag=ga, für alle g $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ G} Was ich also zeigen will ist, dass für a $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ Sn, die im Zentrum liegen a $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ G ist. 1. Ich könnte versuchen zu zeigen, dass G Normalteiler in Sn ist, denn dann folgt die Aussage ja schon. Allerdings weiß ich nicht wie ich das machen kann. 2. Ich weiß, dass eine Untergruppe von Sn isomorph zu G ist, dies ist genau G oder? Mein Problem ist, dass ich doch nicht weiß, dass G abelsch ist, bzw. G gar nicht abelsch sein muss, deshalb weiß ich nicht, was mir diese Information hilft.
16.09.2016, 11:03	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von Cayley: ZSn(G)=G Die Aufgabenstellung ist unvollständig oder falsch. Beweis: Sei $\begin{eqnarray} G=S_3 \end{eqnarray}$ . Das ist eine endliche Gruppe und Untergruppe von $\begin{eqnarray} S_3 \end{eqnarray}$ . Das Zentrum (bzw. der Zentralisator) von $\begin{eqnarray} S_3 \end{eqnarray}$ ist trivial und damit nicht $\begin{eqnarray} S_3 \end{eqnarray}$ . Offensichtlich kann diese Aussage auch nicht für echte Untergruppen gelten, wenn diese nicht abelsch sind.

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