Surjektivität von sin(x) |
09.09.2016, 16:38 | PhillyMathe | Auf diesen Beitrag antworten » |
Surjektivität von sin(x) Hi, meine Frage ist ob die Funktion. R->R, x-> sin(x) injektiv, surjektiv oder bijektiv ist. Es wäre nett, wenn ihr die Vorgehensweise meiner Prüfung der Injektivität überprüfen könntet. Bei der Surjektivität bin ich mir nicht ganz sicher. Meine Ideen: Also z.Z. für Injektivität: Für f: M-> N f(m) = f(m') für m,m' e M folgt m = m' also f: R->R f(x) = f(x') für x,x' e R folgt x = x' sin(x) = sin(x') => x = x' sei x = pi und x'=3pi dann 0 = 0 => pi = 3 pi => keine Injektivität. z.Z. R->R, x-> sin(x) ist surjektiv. Also: f: M -> N f ist surjektiv, genau dann wenn es zu jedem n e N ein m e M gibt mit f(m) = n also f:R -> R , x-> sin(x) ist nicht surjektiv, da für 2 e R kein x' e R existiert, so dass sin(x) = 2. -> damit auch nicht bijektiv, da nicht injektiv oder surjektiv, p.s. nehme ich an dass f: R -> [-1,1] , dann ist x -> sin(x) surjektiv oder? |
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09.09.2016, 16:49 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Deine Überlegungen stimmen. Allerdings ist dein Aufschrieb nicht klar genug. Gehe, sobald du eine Aufgabe gelöst hast, alles noch einmal durch und laß Zwischenüberlegungen und Ab- und Umwege, die dir zur Vergewisserung dienten und beim Lösen durchaus wichtig waren, weg. Konzentriere dich auf das eigentliche Argument. Was brauchst du zum Widerlegen der Injektivität nur zu sagen? |
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09.09.2016, 16:55 | PhillyMathe | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke für deine Antwort Sei x1 = pi => f(x1) = 0 Sei x2 = 3pi = > f(x2) = 0 aus f(x1) = f(x2) folgt nicht x1=x2 => nicht injektiv. Genügt das? |
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09.09.2016, 17:00 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Noch klarer: , obwohl Also ist nicht injektiv. Die Einführung von und ist überflüssig. Du könntest daher noch kürzer sagen: Also ist nicht injektiv. Daß du weißt, daß und nicht dasselbe ist, glaubt man dir. |
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09.09.2016, 17:27 | PhillyMathe | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vielen Dank, das hat mir sehr geholfen. Ich versuche das Gelernte nun auf meine Übungsaufgaben anzuwenden: [attach]42581[/attach] entfernen (a) f(2,1) = f(4,2). Also ist f nicht injektiv. 2x-y = y => x=y => surjektiv (b) injektiv da kein m,m' e {1,2,3} exisitiert für das f(m) = f(m') surjektiv da {1,2,3} = {1,2,3} also bijektiv da injektiv + surjektiv (c) bereits erledigt (d) f((x1,y1)) = f((x2,y2)) => (-y1,x1) = (-y2,x2) => -y1 = -y2 und x1 = x2 => y1 = y2 und x1 = x2 also injektiv. |
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09.09.2016, 18:06 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
(a) Das Beispiel zur Nichtinjektivität bitte noch einmal nachrechnen. Zur Surjektivität: Ich weiß, was du sagen willst. Aber so kann man das nicht aufschreiben. Ich würde vorschlagen: Ist gegeben, so gilt . Also ist surjektiv. (b) Daß ist, ist eine Trivialität. Worin aber besteht der Zusammenhang mit der Aufgabe? In deiner Aussage kommt nirgendwo vor. Vielleicht meinst du Folgendes: . Also ist surjektiv. (d) Injektivität paßt. Man könnte höchstens noch ergänzen: Surjektivität fehlt. |
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09.09.2016, 22:44 | PhillyMathe | Auf diesen Beitrag antworten » |
Alles klar, danke dir. |
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