Mengenfolgen

10.09.2016, 19:21	Phillymathe2	Auf diesen Beitrag antworten »
Mengenfolgen Meine Frage: Hi, es wäre nett wenn jemand über meinen Lösungsweg gehen könnte. Ich bin mir nämlich sehr unsicher bei meiner Beweisführung. [attach]42589[/attach] Meine Ideen: Zur 1. Gleichung : sei $\begin{eqnarray} w \in f^{-1} \cup A_{i} \end{eqnarray}$ <=> w $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ { x $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ X \| f(x) $\begin{eqnarray} \in \cup A_{i} \end{eqnarray}$ } => $\begin{eqnarray} \exists] \end{eqnarray}$ f(w) $\begin{eqnarray} \in \cup A_{i} \end{eqnarray}$ . Ich frage mich ob das schon reicht? Zur 2. Gleichung. Hier würde ich genau so vorgehen. nur letztendlich das "existiert" für ein für alle f(w) austauschen. Liebe Grüße Phil
10.09.2016, 19:38	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muss noch nachdenken, das scheint mir aber kein Beweis zu sein. Die Gleichheit zweier Mengen zeigt man durch den Nachweis zweier Teilmengenrelationen, denn $\begin{eqnarray} M=N\Leftrightarrow M\subseteq N\wedge N\subseteq M \end{eqnarray}$
10.09.2016, 20:31	Phillymathe2	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ich könnte noch dazu schreiben, dann existiert auch ein f(w) element Ai und dadurch ist f(w) e Ui F^((-1)ai) . Was meinst du dann dazu?
10.09.2016, 21:04	PhillyMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach übrigens, danke für deine Hilfe. Ich habe meinen Fehler evtl. gefunden. Zur 1. Gleichung : sei $\begin{eqnarray} w \in f^{-1} \cup A_{i} \end{eqnarray}$ <=> w $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ { x $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ X \| f(x) $\begin{eqnarray} \in \cup A_{i} \end{eqnarray}$ } => f(w) $\begin{eqnarray} \in \cup A_{i} \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} \exists i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ I : f(w) $\begin{eqnarray} \in A_{i} \end{eqnarray}$ <=> f(w) $\begin{eqnarray} \in \cup \end{eqnarray}$ {x $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ X \| f(x) $\begin{eqnarray} \in A_{i} \end{eqnarray}$ } p.s. ich bin mir auch nicht ganz sicher, ob das hier im Algebra Forum was zu suchen hat, da es zwar eine Verbindung zur Mengenlehre gibt, allerdings Mengenfolgen und Mengenfamilien eher in der Wahrscheinlichkeitstheorie vorkommen.
11.09.2016, 11:37	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Mengenlehre ist die Grundlage für alle Bereiche der Mathematik, das passt daher besser in die allgemeine Theorie Algebra als in die spezielle Theorie Wahrscheinlichkeitstheorie. Dein Beweis sieht jetzt schon etwas besser aus, damit ist ein Viertel der Aufgabe erledigt. Ich würde diesen Teil aber etwas kürzer, eleganter, präziser und vollständiger so schreiben: $\begin{eqnarray} x\in f^{-1}(\bigcup_{i\in I}A_i)\Rightarrow f(x)\in \bigcup_{i\in I}A_i\Rightarrow \exists i_0\in I : f(x)\in A_{i_0}\Rightarrow \exists i_0\in I : x\in f^{-1}(A_{i_0})\Rightarrow x\in \bigcup_{i\in I} f^{-1}(A_i) \end{eqnarray}$ Das hat dann auch den Vorteil, dass man schnell einsieht, dass alle Implikationen auch umgekehrt gültig sind.
11.09.2016, 15:06	PhillyMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank. Das hat mir sehr geholfen. Reicht es zu sagen, dass die Implikationen auch umgekehrt gültig sind? Oder muss ich diese noch einmal aufschreiben? Phil
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11.09.2016, 18:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn Du davon überzeugt bist und andere davon überzeugen kannst, darfst du hier stets $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ schreiben, und der Drops ist gelutscht. Bei solchen Beweisen bin ich immer sehr vorsichtig, ich zeige erst eine Richtung und überlege mir anschließend, ob man jeden Schritt auch umkehren kann. Wenn ich dann sicher bin, mache ich ohne zusätzlichen Schreibaufwand aus den Implikationspfeilen Äquivalenzpfeile. Analog kannst Du die andere Mengengleichheit für die Durchschnitte beweisen.

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