Definitionsmenge Wurzelgleichung

10.09.2016, 19:40

Kirikkayis

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Definitionsmenge Wurzelgleichung

Meine Frage:
Hey Leute unzwar brauche ich eure Hilfe,

ich habe eine Wurzelgleichung erhalten, die wie folgt lautet: verwirrt

verwirrt

1+x*? x²+12) = 1+x
die erste Wurzel steht auch über die 2.

nun habe ich auch einen Definitionsbereich vorgegeben, den ich rechnerisch sozusagen beweisen muss ... D=[-?-6+?37 - unendlich ]

habt ihr eine Idee? bzw einen Lösungsvorschlag wie ich auf den Definitionsbereich komme ?

Meine Ideen:
Ich wäre auf einen komplett anderen Definitonsbereich gekommen Big Laugh

Big Laugh

X muss größer als 0 sein ( damit die erste wurzel nicht negativ wird )

10.09.2016, 19:48

Kirikkayis

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Die Gleichung lautet:

10.09.2016, 20:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kirikkayis
D=[-?-6+?37 - unendlich ]

[...]

Ich wäre auf einen komplett anderen Definitonsbereich gekommen

Ich auch - und zwar auf einen lesbaren: $\begin{align*} D = \left[-\sqrt{-6+\sqrt{37}},\infty\right) \end{align*}$ .

10.09.2016, 20:39

Kirikkayis

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Ich danke dir für die bessere / "lesbarere" Definition.
Hast du mir vielleicht auch einen Vorschlag wie ich da drauf komme ?

10.09.2016, 20:48

HAL 9000

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Naja, der Radikand unter der äußeren Wurzel muss nichtnegativ sein, d.h., es ist die Ungleichung

$\begin{align*} 1+x\cdot\sqrt{x^2+12}\geq 0 \end{align*}$

zu lösen. Für $\begin{align*} x\geq 0 \end{align*}$ ist die offensichtlich immer erfüllt, es bleibt noch zu untersuchen, für welche $\begin{align*} x<0 \end{align*}$ das auch noch klappt.

10.09.2016, 20:53

MatheKarate

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Naja, ich verstehe deine Aussage nicht ganz ? was meinst du ?

die "rechte" Seite muss aufgelöst werden?

kannst du es vielleicht etwas Konkreter erklären, wäre dir echt dankbar da ich auch ein Ähnliches Problem habe.

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10.09.2016, 20:55

Kirikkayis

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HAL, du meinst also es ist die Ungleichung von Wurzel x²+12 ?
kannst du es mir vielleicht etwas besser erklären? bzw wenn möglich genau ?
Da ich seit über 3 stunden an der Aufgabe hänge ... Ich stehe komplett aufm Schlauch Hammer

Hammer

10.09.2016, 20:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kirikkayis
kannst du es mir vielleicht etwas besser erklären?

Nein, ich kann nicht besser erklären, warum als nächstes genau diese Ungleichung $\begin{align*} 1+x\cdot\sqrt{x^2+12}\geq 0 \end{align*}$ gelöst werden muss. Wenn du Fragen zur Lösung dieser Ungleichung hast, dann stelle sie entsprechend, und nicht mit einem grässlich allgemeinen "kannst du das besser erklären". Finger2

Finger2

10.09.2016, 21:06

MatheKarate

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HAL, ich entschuldige mich bei dir, ich habe mich wohl komplett falsch ausgedrückt ... ENTSCHULDIGE MICH BITTE !!

Nur verstehe ich nicht genau was du meinst ich hab die Gleichung eben Ausgerechnet:
x sqrt(x²+12)=2x+x² , und ab da muss man eine Fallunterscheidung durchführen,

x ist undgleich 0 --> ausgrechnet x=2
x ist gleich 0 --> ausgerechnet x= 0

was nun ?

könntest du es mir bzw uns genau erklären ? ich persönlich wäre dir natürlich Dankbar,
und ich entschuldige mich nochmal Hammer

Hammer

10.09.2016, 21:09

Kirikkayis

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Also ich hab auch die Wurzelgleichung "vereinfacht" und komme auch auf das gleiche Ergebnis --> x sqrt(x²+12)=2x+x²

habe auch eine Fallunterscheidung durchgeführt ... auch das selbe Ergebnis, aber das bringt mich nicht weiter.

Ich muss genau herausfinden wie man auf den Definitionsbereich kommt traurig

traurig

Wäre für eine genau Lösung auch tausend mal Dankbar verwirrt

verwirrt

smile

10.09.2016, 21:39

Kirikkayis

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HAL, ich entschuldige mich Natürlich auch ! Hammer

Hammer

Was erhält man wenn man die Ungleichung löst ?
Erhalte ich dann direkt die Definitionsmenge ?

könntest du mir etwa weiterhelfen und mir genau die Lösung erklären ?

10.09.2016, 21:52

10001000Nick1

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@Kirikkayis, MatheKarate: Hat es irgendeinen Grund, dass du in einem Thread unter zwei verschiedenen Namen schreibst und vorgibst, zwei verschiedene Personen zu sein? verwirrt

verwirrt

Bleibe bitte bei einem Namen.

11.09.2016, 07:48

HAL 9000

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Offenkundig gibt es hier noch ein paar Verständnisprobleme, die zunächst zu klären sind. Es geht hier um die reellen Lösungen dieser Gleichung $\begin{align*} \sqrt{1+x\cdot\sqrt{x^2+12}}=1+x \end{align*}$ .

Die Definitionsmenge (auch Definitionsbereich genannt) $\begin{align*} D \end{align*}$ dieser Gleichung umfasst alle reellen Zahlen $\begin{align*} x \end{align*}$ , für die die beteiligten Terme als reelle Zahlen definiert sind. D.h., es dürfen keine Wurzeln aus negativen Zahlen, keine Divisionen durch Null, keine Logarithmen von nichtpositiven Zahlen usw. vorkommen - das ist mit Definitionsmenge gemeint. Es geht hierbei also noch nicht um die Lösung der Gleichung!

Die Lösungsmenge $\begin{align*} L \end{align*}$ der Gleichung umfasst alle reellen Zahlen $\begin{align*} x \end{align*}$ , für die die Gleichung richtig ist - das ist es, was beim eigentliche Lösen der Gleichung herauskommt. $\begin{align*} L \end{align*}$ ist eine Teilmenge von $\begin{align*} D \end{align*}$ - klar, denn für jedes $\begin{align*} x \end{align*}$ , das die Gleichung löst, muss man natürlich die beteiligten Terme ausrechnen können, um die Gleichheit zwischen linker und rechter Seite der Gleichung überprüfen zu können.

Kommen wir nun zur Bestimmung von $\begin{align*} D \end{align*}$ : Was sind die kritischen Stellen hinsichtlich der Existenz der Terme? Na klar, die Wurzeln.

Betrachten wir zunächst die innerste Wurzel $\begin{align*} \sqrt{x^2+12} \end{align*}$ : Bei der gibt es keine Existenzprobleme, denn es ist stets $\begin{align*} x^2\geq 0 \end{align*}$ , und damit auch $\begin{align*} x^2+12\geq 12>0 \end{align*}$ , aus diesem Term kann man stets die Quadratwurzel ziehen.

Als nächstes die äußere Wurzel: Hier muss also $\begin{align*} 1+x\cdot\sqrt{x^2+12}\geq 0 \end{align*}$ für die $\begin{align*} x\in D \end{align*}$ gelten, und damit sind wir an dem Punkt angelangt, bei dem ich oben gestartet war (da ich oben noch angenommen hatte, dir wären die Unterschiede zwischen den Begriffen Definitionsmenge und Lösungsmenge geläufig).

11.09.2016, 10:53

Kirikkayis

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Du bist der Beste !!! Mit Zunge

Mit Zunge

kannst du mir vielleicht auch erklären wie ich auf den unten angegebenen Definitionsbereich komme? -sqrt(-6 + sqrt(37))

Edit (Nick): Komplettzitat entfernt.

11.09.2016, 15:32

HAL 9000

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Dazu habe ich oben bereits was gesagt:

Zitat:

Original von HAL 9000
d.h., es ist die Ungleichung

$\begin{align*} 1+x\cdot\sqrt{x^2+12}\geq 0 \end{align*}$

zu lösen. Für $\begin{align*} x\geq 0 \end{align*}$ ist die offensichtlich immer erfüllt, es bleibt noch zu untersuchen, für welche $\begin{align*} x<0 \end{align*}$ das auch noch klappt.

Wäre nett, wenn du nun mal selbständig versuchst, den Teil für $\begin{align*} x<0 \end{align*}$ anzugehen - zumindest ein paar Schritte. Am Ende steht nämlich diese Zahl $\begin{align*} -\sqrt{-6+\sqrt{37}} \end{align*}$ ...

11.09.2016, 17:38

Kirikkayis

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Zitat:

Original von HAL 9000
Dazu habe ich oben bereits was gesagt:

Zitat:

Original von HAL 9000
d.h., es ist die Ungleichung

$\begin{align*} 1+x\cdot\sqrt{x^2+12}\geq 0 \end{align*}$

zu lösen. Für $\begin{align*} x\geq 0 \end{align*}$ ist die offensichtlich immer erfüllt, es bleibt noch zu untersuchen, für welche $\begin{align*} x<0 \end{align*}$ das auch noch klappt.

Wäre nett, wenn du nun mal selbständig versuchst, den Teil für $\begin{align*} x<0 \end{align*}$ anzugehen - zumindest ein paar Schritte. Am Ende steht nämlich diese Zahl $\begin{align*} -\sqrt{-6+\sqrt{37}} \end{align*}$ ...

Komme nicht auf die Wurzel 37 ... Hammer

Hammer

11.09.2016, 17:43

Kirikkayis

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Glaub mir ich hab es Versucht nicht nur einmal ... hab wohl mehr als 4 Unterschiedliche Ergebnisse erhalten ...
aber auf die vorgegebene komme ich nicht ... deshalb habe ich vor lauter Verwirrung hier nachgefragt ... traurig

traurig

11.09.2016, 19:03

Helferlein

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Dann schreib doch mal auf, was Du gerechnet hast. Dann können wir Dir sagen, was Du falsch machst. Er bringt nichts, wenn Dir HAL alles vorrechnet. Dann wirst Du bei der nächsten Aufgabe wieder scheitern.
.

11.09.2016, 19:13

Kirikkayis

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Zitat:

Original von Helferlein
Dann schreib doch mal auf, was Du gerechnet hast. Dann können wir Dir sagen, was Du falsch machst. Er bringt nichts, wenn Dir HAL alles vorrechnet. Dann wirst Du bei der nächsten Aufgabe wieder scheitern.
.

Klar sehr gerne, aber nicht auslachen !! Big Laugh

Big Laugh

Diese Ergebnisse habe ich gestern um kurz vor 24 Uhr heraus bekommen nach 4 stündigem rechnen ...

1. ich habe die 1 auf die "rechte Seite" gebracht mit -1
--> x²*(x²+12)>=1 --> x⁴+12x² ...

verstehe deswegen gar nicht wie man im Ergebnis Wurzel aus 37 herausbekommt.

Ich weiß richtig blöd ... nur stehe ich komplett aufm Schlauch hab einen echt miesen "BlackOut"

würde mich über eine Verbesserung freuen ... Da ich die Aufgabe bis spätestens Morgen früh lösen muss

11.09.2016, 19:26

HAL 9000

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Zunächst muss man sich bei einer Ungleichung ein wenig Gedanken machen, bevor man quadriert. Aus $\begin{align*} 1+x\cdot \sqrt{x^2+12}\geq 0 \end{align*}$ folgt

$\begin{align*} 1\geq -x\cdot \sqrt{x^2+12} \end{align*}$ .

Wegen $\begin{align*} x<0 \end{align*}$ sind hier nun beide Seiten der Ungleichung positiv - in dem Fall darf man quadrieren unter Erhaltung des Relationszeichens, d.h.

$\begin{align*} 1\geq x^2(x^2+12) \end{align*}$ .

Das ganze ist nun eine quadratische Ungleichung für die Unbekannte $\begin{align*} x^2 \end{align*}$ . Die kann man nun ganz nach persönlichen Geschmack lösen, z.B. durch quadratische Ergänzung:

$\begin{align*} 1+6^2\geq x^4+12x^2+6^2 \end{align*}$

$\begin{align*} 37\geq \left(x^2+6\right)^2 \end{align*}$ .

Wurzel ziehen:

$\begin{align*} \sqrt{37}\geq \left|x^2+6\right| \end{align*}$

Die Betragszeichen rechts kann man nun weglassen, da stets $\begin{align*} x^2+6\geq 6 > 0 \end{align*}$ gilt:

$\begin{align*} \sqrt{37}\geq x^2+6 \end{align*}$

Und jetzt noch nach $\begin{align*} x \end{align*}$ umstellen - und immer dran denken: All diese Umformungen fanden jetzt nur im Fall $\begin{align*} x<0 \end{align*}$ statt!

11.09.2016, 19:56

Kirikkayis

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Habe es jetzt einfach durch eine Subtitution gelöst ...
x^4 +12x²-1 --> x²= u --> u²+12u-1

11.09.2016, 19:58

Kirikkayis

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Zitat:

Original von HAL 9000
Zunächst muss man sich bei einer Ungleichung ein wenig Gedanken machen, bevor man quadriert. Aus $\begin{align*} 1+x\cdot \sqrt{x^2+12}\geq 0 \end{align*}$ folgt

$\begin{align*} 1\geq -x\cdot \sqrt{x^2+12} \end{align*}$ .

Wegen $\begin{align*} x<0 \end{align*}$ sind hier nun beide Seiten der Ungleichung positiv - in dem Fall darf man quadrieren unter Erhaltung des Relationszeichens, d.h.

$\begin{align*} 1\geq x^2(x^2+12) \end{align*}$ .

Das ganze ist nun eine quadratische Ungleichung für die Unbekannte $\begin{align*} x^2 \end{align*}$ . Die kann man nun ganz nach persönlichen Geschmack lösen, z.B. durch quadratische Ergänzung:

$\begin{align*} 1+6^2\geq x^4+12x^2+6^2 \end{align*}$

$\begin{align*} 37\geq \left(x^2+6\right)^2 \end{align*}$ .

Wurzel ziehen:

$\begin{align*} \sqrt{37}\geq \left|x^2+6\right| \end{align*}$

Die Betragszeichen rechts kann man nun weglassen, da stets $\begin{align*} x^2+6\geq 6 > 0 \end{align*}$ gilt:

$\begin{align*} \sqrt{37}\geq x^2+6 \end{align*}$

Und jetzt noch nach $\begin{align*} x \end{align*}$ umstellen - und immer dran denken: All diese Umformungen fanden jetzt nur im Fall $\begin{align*} x<0 \end{align*}$ statt!

ich verstehe leider immer noch nicht wie du auf die 6² +1 kommst ... woher kommt die 6 bei dir ? ;o

11.09.2016, 20:23

Helferlein

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Zitat:

Original von Kirikkayis
Habe es jetzt einfach durch eine Subtitution gelöst ...
x^4 +12x²-1 --> x²= u --> u²+12u-1

Da fehlt noch ein =0, ansonsten ist das aber nicht die schlechteste Idee.
Was ergibt sich als Lösung für u?

11.09.2016, 20:29

Kirikkayis

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p-q-Formel -12/2 ( -6 ) = p ==> x1= -6-(Wurzel aus 37 ) ; x2= -6 +(Wurzel aus 37 )

11.09.2016, 20:33

Helferlein

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Richtig und nun noch die Rücksubstitution. Es gilt ja $\begin{eqnarray*} x²=u \end{eqnarray*}$

11.09.2016, 20:36

Kirikkayis

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Genau, ... kannst du mir vielleicht sagen wie ich es sozusagen " Beweisen " kann das die Definitionsmenge sozusagen dann bist + unendlich geht ?
:o

Danke "!!!

11.09.2016, 20:42

Helferlein

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Das hat HAL schon in ziemlicher Ausführlichkeit getan.

Die entscheidende Ungleichung ist $\begin{align*} 1+x\cdot\sqrt{x^2+12}\geq 0 \end{align*}$ .
Sie ist, wie HAL auch schon festgestellt hat, für x>0 immer erfüllt. Eine Grenze des Definitionsbereiches kann es also nur im negativen geben und diese Grenze erhältst Du durch das Lösen der Gleichung $\begin{align*} 1+x\cdot\sqrt{x^2+12}= 0 \end{align*}$

Im Rahmen der Schulmathematik sollte das völlig ausreichen.

11.09.2016, 20:45

Kirikkayis

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Stimmt, du bzw HAL hat volkommen recht !
aber ich habe einfach einen Blackout gehabt ... ich bin erst vor 2 stunden auf die Substitution gekommen,
Was ich allerdings immer noch nicht verstehe, wie HAL auf die 1+6² kommt ... ich kann es mir gar nicht erklären ... unglücklich

unglücklich

11.09.2016, 20:49

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch auch 37 in deiner Formel stehen verwirrt

verwirrt

11.09.2016, 20:58

Kirikkayis

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
Zunächst muss man sich bei einer Ungleichung ein wenig Gedanken machen, bevor man quadriert. Aus $\begin{align*} 1+x\cdot \sqrt{x^2+12}\geq 0 \end{align*}$ folgt

$\begin{align*} 1\geq -x\cdot \sqrt{x^2+12} \end{align*}$ .

Wegen $\begin{align*} x<0 \end{align*}$ sind hier nun beide Seiten der Ungleichung positiv - in dem Fall darf man quadrieren unter Erhaltung des Relationszeichens, d.h.

$\begin{align*} 1\geq x^2(x^2+12) \end{align*}$ .

Das ganze ist nun eine quadratische Ungleichung für die Unbekannte $\begin{align*} x^2 \end{align*}$ . Die kann man nun ganz nach persönlichen Geschmack lösen, z.B. durch quadratische Ergänzung:

$\begin{align*} 1+6^2\geq x^4+12x^2+6^2 \end{align*}$

$\begin{align*} 37\geq \left(x^2+6\right)^2 \end{align*}$ .

Wurzel ziehen:

$\begin{align*} \sqrt{37}\geq \left|x^2+6\right| \end{align*}$

Die Betragszeichen rechts kann man nun weglassen, da stets $\begin{align*} x^2+6\geq 6 > 0 \end{align*}$ gilt:

$\begin{align*} \sqrt{37}\geq x^2+6 \end{align*}$

Und jetzt noch nach $\begin{align*} x \end{align*}$ umstellen - und immer dran denken: All diese Umformungen fanden jetzt nur im Fall $\begin{align*} x<0 \end{align*}$ statt!

ja das schon, nur taucht bei ihm auf der linken Seite plötzlich die 6 verwirrt

verwirrt

11.09.2016, 21:17

HAL 9000

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L E S E N !!!!
Nichts taucht "plötzlich" auf - es wird auf beiden Seiten $\begin{eqnarray*} 6^2 \end{eqnarray*}$ addiert, und ich habe DEUTLICH geschrieben, warum ich das mache: QUADRATISCHE ERGÄNZUNG

Mehrmals den Beitrag komplett zitieren - aber nicht einmal gründlich lesen. unglücklich

unglücklich

11.09.2016, 21:26

Dopap

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stimmt, aber rechts steht mit plus dasselbe. Ergo ist es nicht falsch, man hätte auch 1234
auf beiden Seiten addieren können, aber 36 ist eben geschickt. -----> quadratische Ergänzung...

edit :siehe oben

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