Median, Minimaleigenschaft

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StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »
Median, Minimaleigenschaft
Hallo

Def.:
Für eine gegebene Stichprobe heißt die geordnete Stichprobe die zugehörige Ordnungsstatistik und
für n gerade
für n ungerade

Frage1: Der Median ist also auch eine Zufallsvariable?

Ich soll folgenden Satz beweisen:
Seien reelle zahlen. Dann hat die Funktion ihr Minimum bei Ist n ungerade so ist das Minimum eindeuutig und ist n gerade so ist jeder Wert m mit ein Minimum.

Beweis:
Für n ungerade

Median also das Mimimum der Funktion f, da Gleichheit nur für t=Median.

Für
Da krieg ich keinen sauberen beweis hin. Vorallem nicht wenn die Grenzen im Intervall dabei sind..
Für erhalte ich
Gleichheit gilt nur für

LG,
MaGi
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Statt würde ich einfach mal generell alle mit einsetzen, die Rechnung ändert sich kaum:



Das heißt, in diesem Intervall ist eine lineare Funktion mit Anstieg . Solange dieser Anstieg negativ ist, fällt die Funktion - ist er positiv, steigt sie. Ist er gar Null, so ist die Funktion in dem Intervall konstant. Dass die Funktion überdies an den Intervallübergangsstellen auch stetig ist, folgt sofort daraus, dass jeder der Einzelbetragssummanden stetig ist.

Für ungerade ist nun für , sowie für alle . Damit nimmt die Funktion ihr Minimum an genau am Ende des Intervalls , also bei .

Für gerade ist es ganz ähnlich: Es ist für und für . Hier ist jedoch für , d.h. die Funktion fällt bis zum Punkt und steigt ab dem Punkt , und ist dazwischen im gesamten Intervall konstant - d.h., alle Punkte dieses Intervalls sind globale Minimumstellen.

Zitat:
Original von StrunzMagi
Frage1: Der Median ist also auch eine Zufallsvariable?

Zweiteilige Antwort: ist eine Zufallsvariable, ist hingegen eine einfache reelle Zahl.

Genaueres hier zu dieser generellen Statistikfrage: https://www.matheboard.de/thread.php?pos...086#post1819086
StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Erklärungen, hat mir sehr geholfen!

LG,
MaGi
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