Urnenmodell (ohne Reihenfolge/mit Zurücklegen)

15.09.2016, 09:48

Perry

Urnenmodell (ohne Reihenfolge/mit Zurücklegen)

Hallo zusammen

Urne mit 12 Kugeln.
5 Rote
4 Grüne
3 Blaue

Berechne die Wahrscheinlichkeit für 3 Rote, 2 Grüne, 1 Blaue.
Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge.

Ergebniss habe ich:
$\begin{eqnarray*} (\frac{5}{12})^{3} * (\frac{4}{12})^{2} * (\frac{3}{12})^{1} * \begin{pmatrix} 6 \\ 3,2,1 \end{pmatrix} = 12 % (ca.) \end{eqnarray*}$

Aber aus der Kombinatorik weiß ich:

Die Anzahl die Möglichkeiten ist: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+k-1\\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ für Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge.

Es klappt aber nicht mit:

$\begin{eqnarray*} \frac{\begin{pmatrix} 7\\ 3 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 5\\ 2 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 17\\ 6 \end{pmatrix}} \end{eqnarray*}$

Das ergibt ca. 8 %

Kann mir einer vielleicht einen Denkanstoß geben, warum es in die Hose geht?

Lieben Gruß, Perry

15.09.2016, 12:59

HAL 9000

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Durch das Zurücklegen hängt die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer roten/grünen/blauen Kugel in jedem einzelnen Zug ausschließlich davon ab, welchen relativen Anteil die entsprechende Farbsorte in der Urne aufweist. In dem Sinne müsste sich dieselbe Wahrscheinlichkeit für das Ziehen von 6 Kugeln aus einer Urne mit der "doppelten" Kugelanzahl

10 Rote
8 Grüne
6 Blaue

ergeben. Man kann durch Nachrechnen aber leicht überprüfen $\begin{align*} \frac{\binom{7}{3}\cdot \binom{5}{2}\cdot \binom{3}{1}}{\binom{17}{6}} \neq \frac{\binom{12}{3}\cdot \binom{9}{2}\cdot \binom{6}{1}}{\binom{29}{6}} \end{align*}$ .

Das erklärt nicht die Richtigkeit des ersten Modells (Multinomialverteilung), wohl aber die Falschheit deiner "alternativen" Berechnungsweise. Augenzwinkern

Der Grund ist - wie so oft in solchen Fällen - dass in deinem Modell kein Laplaceraum (= alle Elementareignisse sind gleichwahrscheinlich) vorliegt.

15.09.2016, 15:24

Dopap

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zum Beispiel: 3 Würfel gleichzeitig werfen ist kein Laplace-Versuch.

Die Formel ergibt 56 verschiedene Ausfälle, die aber nicht gleichwahrscheinlich sind.

22.11.2016, 16:19

Stefan_MTK

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Weshalb passt hier Laplace nicht ?

22.11.2016, 16:48

Dopap

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Aufteilung:

p(xyz)=1/216 3 verschiedene
p(xxy)=3/216 2 gleiche
p(xxx)=6/216 3 gleiche Augenzahlen.

22.11.2016, 17:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
zum Beispiel: 3 Würfel gleichzeitig werfen ist kein Laplace-Versuch.

Auch wenn ich weiß, was du meinst - man muss vorsichtig in der Formulierung sein: Nicht der zugrunde liegende reale Versuch ist von vornherein Laplacesch bzw. Nicht-Laplacesch, sondern erst ein den Versuch modellierender Wahrscheinlichkeitsraum. Und mit ein meine ich, dass diese Modellierung nicht zwangsläufig ist.

Insofern kann auch der gleichzeitige Wurf mit drei Würfeln mit einem Laplaceschen W-Raum modelliert werden, indem man die drei Würfel im Modell dann doch unterscheidbar macht, auch wenn das real optisch nicht machbar scheint.

Eine evtl. "Unmöglichkeit", anhand des optisch sichtbaren Wurfergebnisses die Würfel genau zuzuordnen (als erster, zweiter und dritter Würfel) kann man auf die Ebene der beobachtbaren Ereignisse verlagern, indem ein solches beobachtbares Ereignis mit $\begin{align*} (\omega_1,\omega_2,\omega_3) \end{align*}$ stets auch alle Permutationen dieses Tripels enthalten muss, wie etwa $\begin{align*} (\omega_2,\omega_1,\omega_3) \end{align*}$ usw. Wenn man so will, hat man dann also einen W-Raum mit $\begin{align*} |\Omega|=6^3=216 \end{align*}$ Elementarerignissen, aber nur $\begin{align*} \binom{8}{3}=56 \end{align*}$ atomaren beobachtbaren Ereignissen.

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