Extremwertaufgabe rechtwinkliges Dreieck

15.09.2016, 20:58

Trudi

Extremwertaufgabe rechtwinkliges Dreieck

Hallo Zusammen,

ich knobel schon zu lange über eine Extremwerte Aufgabe:

Gesucht wird ein rechtwinkliges Dreieck mit maximalem Flächeninhalt bei gegeben Umfang

U=2

Meine Zielfunktion ist A = 1/2 x+y
Nebenbedingungen sind

c^2 =x^2 + y^2

Aber das ist irgendwie eine Unbekante zuviel und ich komm einfach nicht auf die
Kombination zwischen Nebenbedingung und Zielfunktion.

Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

Danke

Trudi

15.09.2016, 22:07

willyengland

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Hui, schwer!

$\begin{eqnarray*} U = x + y+ \sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

Kann man nach y auflösen: $\begin{eqnarray*} y=\frac{U^2-2Ux}{2U-2x} \end{eqnarray*}$

16.09.2016, 08:37

Trudi

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Danke.... nun hab ich das ganze umformen auch endlich hin bekommen.

16.09.2016, 09:06

willyengland

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Das freut mich!
Und was ist dein Ergebnis?

Auf das Ergebnis könnte man auch durch reines Nachdenken ohne Rechnung kommen.
Es ist äquivalent zu der Frage, welches Rechteck hat bei gegebenem Umfang die größte Fläche (auch als Zaunproblem bekannt).

16.09.2016, 10:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von willyengland
Es ist äquivalent zu der Frage, welches Rechteck hat bei gegebenem Umfang die größte Fläche (auch als Zaunproblem bekannt).

Auch wenn das Ergebnis letztlich dasselbe ist, würde ich die von dir behauptete Äquivalenz erst mal in Frage stellen - schließlich kommt hier die Dreieckshypotenuse ins Spiel. Beim Rechteckumfang spielt diese Hypotenuse (die dort der Rechteckdiagonalen entspricht) aber keine Rolle. Wie also begründest du da eine Äquivalenz der beiden Fragen? verwirrt

16.09.2016, 12:16

willyengland

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Darüber habe ich auch schon nachgedacht. smile

Ganz sicher bin ich mir nicht.
Ich habe es für mich so begründet, dass ja die Hypotenuse durch die beiden anderen Seiten festgelegt ist.
Man könnte die Aufgabe also auch so stellen:
Welches rechtwinklige Dreieck hat bei gegebenem x+y die größte Fläche?

16.09.2016, 12:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von willyengland
Welches rechtwinklige Dreieck hat bei gegebenem x+y die größte Fläche?

Das wäre äquivalent zur Rechteckaufgabe, ja. Aber wieso soll das äquivalent zur ursprünglichen Aufgabe mit dem gegebenen Umfang sein soll, ist damit nicht klar - du hast nur versucht, dich aus dieser Schwierigkeit herauszureden, was dir damit nicht gelungen ist. Augenzwinkern

16.09.2016, 13:05

willyengland

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Tja, komische Sache!

Weißt du denn die Lösung?
Wenn ja, würde ich weiter nachdenken.
Wenn nein, hätte es wenig Zweck, da du mathematisch wesentlich fitter bist als ich.

16.09.2016, 13:18

HAL 9000

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Weg o h n e Differentialrechnung
Man kann durchaus den Weg beschreiten, den du oben 22:07 ja skizziert hattest. Meine "Erfahrung" sagt mir allerdings, das man das ganze vorher symmetrisieren sollte:

D.h., statt direkt mit den Katheten $\begin{align*} x,y \end{align*}$ würde ich das ganze mit Parametern $\begin{align*} m,d \end{align*}$ so parametrisieren, dass $\begin{align*} x=m+d,y=m-d \end{align*}$ ist, d.h. $\begin{align*} m \end{align*}$ ist die "mittlere" Kathetenlänge und $\begin{align*} d \end{align*}$ die Abweichung (+/-) davon. Dann ist $\begin{align*} \sqrt{(m+d)^2+(m-d)^2} = \sqrt{2(m^2+d^2)} \end{align*}$ die Hypotenusenlänge und folglich $\begin{align*} u = 2m+\sqrt{2(m^2+d^2)} \end{align*}$ der Umfang und $\begin{align*} A=\frac{(m+d)(m-d)}{2}=\frac{m^2-d^2}{2} \end{align*}$ die Fläche des Dreiecks.

Nun kann man die Umfangformel leicht nach $\begin{align*} d \end{align*}$ umstellen und bekommt da $\begin{align*} d^2=\frac{(u-2m)^2}{2}-m^2 \end{align*}$ heraus, was eingesetzt in die Flächenformel dann

$\begin{align*} A = A(m) = \frac{4m^2-(u-2m)^2}{4} = um - \frac{u^2}{4} \end{align*}$

ergibt. D.h., $\begin{align*} A(m) \end{align*}$ ist eine lineare Funktion in $\begin{align*} m \end{align*}$ , und damit um so größer, je größer $\begin{align*} m \end{align*}$ ist. Es ist also "nur" noch das Maximum von $\begin{align*} m \end{align*}$ zu finden, was sich durch die Restriktion $\begin{align*} u = 2m+\sqrt{2(m^2+d^2)} \end{align*}$ leicht ergibt... aber ich hab wohl schon zuviel verraten. Augenzwinkern

16.09.2016, 13:29

willyengland

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Ich meinte mit Lösung nicht die Lösung der obigen Aufgabe.
Die habe ich ja raus.

Ich meinte, eine "Lösung", warum oder warum nicht die Aufgabe äquivalent zur Rechtecksaufgabe ist.
Ist es nur Zufall, dass das selbe rauskommt?
Meine "Erklärung" hast du ja nicht akzeptiert.

16.09.2016, 14:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von willyengland
Meine "Erklärung" hast du ja nicht akzeptiert.

Welche Erklärung? Du hast behauptet, dass es so ist - ohne Erklärung.

Ich selbst habe keine Erklärung dafür - warum auch? Ich sehe es als zwei eigenständige, verschiedene Optimierungsaufgaben an. Wenn du anderer Meinung bist, dann hast du es zu begründen, nicht ich. Augenzwinkern

16.09.2016, 15:06

willyengland

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Hmm, kurios.
Da muss doch ein Zusammenhang bestehen!

Aus irgendeinem Grund scheint der Wurzelterm $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ ja für die Optimierung irrelevant zu sein.

18.09.2016, 12:21

willyengland

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Wie wäre denn folgende Aufgabe als Äquivalenz:
Welches Rechteck hat bei gegebenem Umfang die längste Diagonale?

EDIT: Ne, da kommt die Fläche ja gar nicht vor.

18.09.2016, 13:06

thk

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Wie wäre es mit
>> Welches rechtwinklige Dreieck hat bei geg. Flächeninhalt minimalen Umfang? <<
Dann z. B. Subst. x:=a-d, y:=a+d

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