Ausbreitung einer Infektion berechnen

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Dani13937 Auf diesen Beitrag antworten »
Ausbreitung einer Infektion berechnen
Meine Frage:
Hallo liebe Mathematiker,

ich möchte die Ausbreitung einer Infektion berechnen.
Population = 3,7 Mio. Menschen
Basisreproduktionszahl R0 = 1,4 bzw. 3,1
mittlere Generationszeit (abhängig von Latenzzeit und Dauer Infektiosität)= 3 Tage
Start mit einem Kranken R = 1

Meine Ideen:
Ich hab so einiges hin und her gerechnet, aber immer das Gefühl, dass die Generationszeit nicht korrekt eingerechnet ist?!
Brauche doch eher ein dynamisches Modell das das exponentielle wachstum einbezieht? Kein Plan wie die Formel dafür aussieht... :-(
vielen Dank im Voraus für eure Hilfe!

Basisreproduktionszahl von 1,4
x = (n+1) = 1
x1 = (1+1,4) = 2,4
x2 = (2,4+1,4) = 3,8
x3 = (3,8+1,4) = 5,2

Basisreproduktionszahl von 3,1
x = (n+1) = 1
x1 = (1+3,1) = 4,1
x2 = (4,1+3,1) = 7,2
x3 = (7,2+3,1) = 10,3

Nettoreproduktionszahl R0 = 1,4
R = R0 x pi
pi = Anteil Personen ohne Impfung
pi = 0,72/0,39 (28 bzw. 61 % geimpft) / 0,25 (75 % geimpft) / 0,10 (90 % geimpft)
R = 1,4 x 0,72/0,39 = 1,008/ 0,546
1,4 x 0,25 = 0,35
1,4 x 0,10 = 0,14
x = (n+1) = 1 x1 = (1+1,008) = 2,008 x2 = (2,008+1,008) = 3,016 x3 = (3,016+1,008) = 4,024

x = (n+1) = 1 x1 = (1+0,546) = 1,546 x2 = (1,546+0,546) = 2,092 x3 = (2,092+0,546) = 2,638

x = (n+1) = 1 x1 = (1+0,35) = 1,35 x2 = (1,35+0,35) = 1,70 x3 = (1,70+0,35) = 2,05

x = (n+1) = 1 x1 = (1+0,14) = 1,14 x2 = (1,14+0,14) = 1,28 x3 = (1,28+0,14) = 1,42

Nettoreproduktionszahl R0 = 3,1
R = R0 x pi
pi = Anteil Personen ohne Impfung
pi = 0,72/0,39 (28 bzw. 61 %) / 0,25 (75 %) / 0,10 (90 %)
R = 3,1 x 0,72/0,39 = 2,232/ 1,209
3,1 x 0,25 = 0,775
3,1 x 0,10 = 0,31
x = (n+1) = 1 x1 = (1+2,232) = 3,232 x2 = (3,232+2,232) = 5,464 x3 = (5,464+2,232) = 7,696

x = (n+1) = 1 x1 = (1+1,209) = 2,209 x2 = (2,209+1,209) = 3,418 x3 = (3,418+1,209) = 4,627

x = (n+1) = 1 x1 = (1+0,775) = 1,775 x2 = (1,775+0,775) = 2,55 x3 = (2,55+0,775) = 3,325

x = (n+1) = 1 x1 = (1+0,31) = 1,31 x2 = (1,31+0,31) = 1,62 x3 = (1,62+0,31) = 1,93


nötige Impfabdeckung R0 = 1,4
R = 1
PImin = 100 - (1/R0) x 100
= 28,75 %

nötige Impfabdeckung R0 = 3,1
R = 1
PImin = 100 - (1/R0) x 100
= 67,74 %

Start: Kranke = R = 1 Infizierte = I = R x R0 = 1,4 Baisreproduktionszahl = R0 = 1,4
Generationszeit = ?t = 3
Rneu = R + ?t x I
= 1 + 3 x 1,4
= 5,2
Rneu1 = 5,2 + 3 x 1,4
= 9,4
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ein lineares Wachstumsmodell scheint hier unzutreffend.
Es bietet sich eher eine begrenzte oder logistische Wachstumsfunktion an, wobei es eine Obergrenze gibt und die Resistenz infolge der Impfung wachstumshemmend ist.

mY+
Dani13937 Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön!
Passt

y = f(t) = a*e^{ct}
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Funktion ist zwar exponentiell, aber für c > 0 nicht begrenzt.
Und welche Parameter des Experimentes gehen in die Konstante c ein?

mY+
Dani13937 Auf diesen Beitrag antworten »

Für c würde ich die Reproduktionsrate einsetzen
Also eher

e^{c*t}/ 1 + e^{c*t}

da a = 1 ist, kann ich es, denke ich, auch weglassen?!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst zwar a = 1 setzen, aber dennoch wird diese Funktion das Modell so nicht treffen, da musst du noch (den Nenner) ein wenig umbauen.
In die Funktion sollten die mittlere Generationszeit (Verdoppelung der Population) und auch die Basisreproduktionszeit eingehen, die Sachlage ist da bestimmt nicht so einfach.

https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematis...r_Epidemiologie

mY+
 
 
Dani13937 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, ich muss sehen, dass es nicht zu viel wird. Ist nur ein Nebenthema und soll stark vereinfacht nur für die erste Übertragungspopulation dargestellt werden. Ich brauche keinen ganzen Epedemieverlauf.
Vielen Dank für Deine Hilfe, ist bei Wikipedia gut dargestellt. Da hatte ich gar nicht geguckt, ist ja nicht als wissenschaftliche Quelle zugelassen. Aber zum Verständnis hilfts!
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