Orthogonale Transformation, Normalverteilung

19.09.2016, 12:19	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonale Transformation, Normalverteilung Hallo, Sei der Zufallsvektor $\begin{eqnarray} X=(X_1,..,X_n) \end{eqnarray}$ normalverteilt mit Erwartungswertvektor $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ und (positiv definiter) Kovarianzmatrix $\begin{eqnarray} \Sigma \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_X(x)= \frac{1}{(2\pi)^{n/2}det(\Sigma)} e^{ - \frac{1}{2} (x-m)^t \Sigma^{-1} (x-m)} \end{eqnarray}$ Wenn man nun eine orthogonale Transformation nimmt: $\begin{eqnarray} Y= OX \end{eqnarray}$ mit O eine orthogonale Matrix. Wie sieht dann der Erwartungswert und die Varianz von Y aus? Kann man da was allgemeines aussagen? Im einfachen Fall $\begin{eqnarray} X \sim \mathcal{N} (0, I) \Rightarrow Y \sim \mathcal{N} (0,I) \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} \|\det(O)\|=1, \|O^{-1} x\|^2=<O^{-1} x O^{-1} x>= <x, (O^{t} O)^{-1} x>=<x,x>=\|x\|^2 \end{eqnarray}$ Allgemein:* $\begin{eqnarray} g(x):=Ox,Y=g(X) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_Y (x)=f_X(O^{-1} (x-m)) \|\det(O)\|^{-1}=f_x(O^{-1} (x-m)) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}\det(\Sigma)} e^{ - \frac{1}{2} (O^{-1}x-m)^t \Sigma^{-1} (O^{-1}x-m)} \end{eqnarray}$ Für den Fall* $\begin{eqnarray} m=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (O^{-1}x)^t \Sigma^{-1} (O^{-1}x)= < O^{-1} x, \Sigma^{-1} (O^{-1} x)>= <, O \Sigma^{-1} O^{-1} x> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X \sim \mathcal{N} (0, \Sigma) \Rightarrow Y \sim \mathcal{N} (0,O \Sigma O^t) \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} (O \Sigma^{-1} O^{-1})^{-1}= O \Sigma O^{-1}= O \Sigma O^t \end{eqnarray}$ und für die Determinante $\begin{eqnarray} \det(O \Sigma O^t)= \det (\Sigma) \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} m \not=0 \end{eqnarray}$ ? $\begin{eqnarray} (O^{-1}x-m)^t \Sigma^{-1} (O^{-1}x-m)= <O^{-1} x-m, \Sigma^{-1} (O^{-1} x - m)>=<O^{-1} x , \Sigma^{-1} O^{-1} x>+ <O^{-1}x , \Sigma^{-1} m> + <-m, \Sigma^{-1} O^{-1} x - \Sigma^{-1} m> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = <x, O\Sigma^{-1} O^{-1} x> + <x, O \Sigma^{-1} m> +<-m, \Sigma^{-1} O^{-1} x - \Sigma^{-1} m> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =<x, O\Sigma^{-1} (O^{-1} x + m)>+<-m, \Sigma^{-1} O^{-1} x - \Sigma^{-1} m> \end{eqnarray}$ Kann man auch was ausssagen?

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