n facher Münzwurf. Was kommt zuerst www oder wzw?

19.09.2016, 12:37	Hicran	Auf diesen Beitrag antworten »
n facher Münzwurf. Was kommt zuerst www oder wzw? Meine Frage: Hallo zusammen, ich habe hier eine Frage aus der Stochastik. Paul und Paula werfen solange eine Münze bis das erste Mal der Block (WWW) oder (WZW) fällt. Fällt zuerst (WWW) gewinnt Paula ansonsten Paul. Was fällt zuerst? Meine Ideen: Die Wahrscheinlichkeit ist bei beiden ja gleich: P(WWW) = P(WZW) = 1/8. Allerdings habe ich jetzt anhand von Graphen nachgezeichnet , dass man länger auf WWW warten muss, weil man ja nach jedem Wurf in der man kein W wirf wieder von vorne anfangen muss bei sozusagen Position 1. Bei WZW geht es schneller , weil sobald man die 1. Position also Wurf W verlassen hat nicht mehr hier landet und von daher schneller auf Position 3 gelangt auf WZW nämlich. Habt ihr eine Idee wie ich die Aufgabe durch ein Lineares Gleichungssystem lösen könnte?
19.09.2016, 12:59	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalerweise fällt das unter das Stichwort "Markovkette", aber da du in Schulmathematik gepostet hast, sagt dir das vermutlich nichts - oder? ----------------------------------------- Ok, es seien $\begin{align} p_1,\ldots,p_4 \end{align}$ die bedingten Wahrscheinlichkeiten, dass Paula ausgehend von den letzten beiden Wurfergebnissen WW, WZ, ZW, ZZ gewinnt. Dann ist $\begin{align} p_1 &= \frac{1}{2}\cdot 1 + \frac{1}{2}p_2\\ p_2 &= \frac{1}{2}\cdot 0 + \frac{1}{2}p_4\\ p_3 &= \frac{1}{2}p_1 + \frac{1}{2}p_2\\ p_4 &= \frac{1}{2}p_3 + \frac{1}{2}p_4 \end{align}$ oder in Matrixschreibweise (alles mit 2 durchmultipliziert) $\begin{align} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & -1\\ -1 & -1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_1\\ p_2\\ p_3\\ p_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix} \end{align}$ . Dieses Gleichungssystem kann man lösen. Anschließend kannst du aufgrund dessen, dass nach zwei Würfen diese vier Kombinationen WW, WZ, ZW, ZZ zu je $\begin{align} \frac{1}{4} \end{align}$ auftreten, die absolute Siegwahrscheinlichkeit für Paula gemäß $\begin{align} \frac{1}{4}\left(p_1+p_2+p_3+p_4\right) \end{align}$ angeben. Erklärung zur Aufstellung der Gleichungen, am Beispiel der ersten Zeile: Ausgehend von WW fällt mit Wkt $\begin{align} \frac{1}{2} \end{align}$ wieder W, dann haben wir WWW und Paula gewinnt. Mit derselben Wkt $\begin{align} \frac{1}{2} \end{align}$ fällt aber Z, insgesamt also WWZ, wovon die letzten beiden Würfe WZ sind, in diesem Unterfall gewinnt Paula mit der bedingten Wkt $\begin{align} p_2 \end{align}$ , absolut gesehen also mit $\begin{align} \frac{1}{2}p_2 \end{align}$ .

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