Jordanform 5x5 Matrix bestimmen |
| 19.09.2016, 17:53 | Däncel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Jordanform 5x5 Matrix bestimmen Hi Leute. Ich bin Physikstudent an der LMU und in unserem 2. Mathe Semester muss man 35 Prozent der Übungspunkte schaffen. Weil ich knapp drunter bin darf ich jetzt unser Ferienblatt machen (Ist so ne art letzte Chance) 
Die Aufgabe wo ich Hilfe brauche lautet wie folgt. Bestimme eine Jordanform MIT zugehörigen Transformationsmatrizen zu 4 5 -2 3 -1 -3 -4 1 -2 1 A= (0 0 -1 0 1 ) -4 -4 2 -3 1 0 0 0 0 -1 Meine Ideen: Ich habe nun die Eigenwerte bestimmt (X1=X2 ... =X5= -1 ) Jetzt wollte ich den Hauptraum dazu finden. Dazu habe ich mit dem ersten Eigenraum angefangen. Also Kern(A+E5) = Eig(A,-1) = lin {(-1,0,1,-1,0); (-1,1,0,0,0)}. Dann den nächsten. Kern(A+E5)^2 = ... Jetzt kommt mein Problem. Als nächstes käme Kern(A+E5)^3 = R^5 D.h ja dann, dass Kern(A+E5)^4 = Kern(A+E5)^5 = R5 Der Hauptraum ist ja Kern(A+E5)^5 oder? Auf jeden Fall hätte ich jetzt v1 aus dem Hauptraum H wählen wollen, sodass v1 NICHT element aus dem Eigenraum eins drunter ist. (Denn so würde ich dann mein T= (v1,v2,v3,v4,v5) aufstellen.) Aber das geht ja jetzt dann nicht ^^. Ich bin für jede Hilfe dankbar, irgendwo hab ich mich wohl verlaufen
) Lg und danke Daniel. |
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| 20.09.2016, 08:51 | thx2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Jordanform 5x5 Matrix bestimmen
Das müßte so aussehen Kern(A+1E) Wieso 5?
schreibt man da nicht span{(-1,0,1,-1,0); (-1,1,0,0,0)}?
(A+1E)^3 ist die Nullmatrix wenn ich richtig gerechnet habe dann hätte der Hauptraum die Dimension 3 wobei ich nicht genau weiß ob das mit der Nullmatrix immer so ist aber hier ist es so du hast ja schon im 1.Hauptraum 2 Vektoren und da in jedem weiteren Raum mindestens ein Vektor dazukommt kann die Dimension allein aus dem Grund nicht mehr als 4 betragen denn du brauchst 5 Vektoren |
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| 20.09.2016, 12:50 | Däncel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Jordanform 5x5 Matrix bestimmen Mit E5 hab ich nur gemeint, dass es die 5x5 einheitsmatrix ist. wir meinen also dasselbe
lin und span ist auch dasselbe. Wieso hat dann der Hauptraum die Dimension 3? Bzw. was ist überhaupt der Hauptraum in diesem Fall? Und wie würdest du jetzt die Transformationsmatrizen aufstellen? |
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| 20.09.2016, 16:23 | thx2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Jordanform 5x5 Matrix bestimmen
Weil man in dem als erstes 5 linear unabhängige Vektoren findet Kern(A+E) hat 2 Vektoren Kern(A+E)^2 hat 4 Vektoren Kern(A+E)^3 hat 5 Vektoren fertig
Ich sehe das so 1.Hauptraum Kern(A+E) 2.Hauptraum Kern(A+E)^2 3.Hauptraum Kern(A+E)^3
ich würde erst mal die Jordanmatrix hinschreiben 2 Eigenvektoren bedeutet,dass es 2 Jordankästchen gibt 3 Haupträume bedeutet,dass das größte Kästchen eine 3x3 Matrix ist Jetzt erkennt man wo man die Verktoren herholen muss Es gibt wahrscheinlich mehrere Möglichkeiten um so eine Transformationsmatrix zu finden. Du solltest das so machen wie es in deinen Unterlagen steht |
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| 20.09.2016, 18:56 | Däncel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Jordanform 5x5 Matrix bestimmen Ich kenne das so, dass ich mir einen Vektor v1 aus dem Hauptraum wähle, sodass v1 nicht aus dem Eigenraum EINS drunter ist. dann ist v2 = (A+E)v1, v3 = (A+E)v2, v4 = (A+E)v3, v5= (A+E)v4. Und dann ist eben T = (v1,v2,v3,v4,v5) ... aber iwie haut das hier nicht so ganz hin...
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| 20.09.2016, 20:19 | thx2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Jordanform 5x5 Matrix bestimmen Ich habe mir das mit dem Hauptraum nochmal überlegt Die Dimenson vom Kern(A+E)^3 müsste 5 sein,weil dort 5 linear unabhängige Vektoren enthalten sind
Das ist mit Sicherheit falsch ich hatte ja geschrieben wie man die Jordan-Matrix findet sie besteht aus einem 3x3 und aus einem 2x2 Block für den 3x3 Block muss man einen Vektor aus dem Kern(A+E)^3 entnehmen und für den 2x2 Block einen Vektor aus dem Kern(A+E)^2 |
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| 23.09.2016, 13:48 | Däncel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Jordanform 5x5 Matrix bestimmen Okay danke dir schonmal für deine Bemühungen
Was meinst du mit entnehmen? Bastel ich dann aus denen die Transformationsmatrix zusammen? Und wie würde ich dann auf die fehlenden 3 Vektoren kommen? Brauche ja 5 für meine 5x5 Matrix |
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| 25.09.2016, 00:17 | thx2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ein Vektor aus dem Kern(A+E)^3 sei v1 dann (A+E)v1=v2 und (A+E)v2=v3 T(v3,v2,v1,?,?) |
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| 25.09.2016, 17:02 | Däncel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Okay, ja damit bin ich recht weit gekommen. Ich habe jetzt versucht die letzten 2 Vektoren auf zwei versch. Wegen zu bekommen. 1) Nehme w2 aus Kern(A+E)^2 und w1 aus Kern(A+E) -> T = (v3,v2,v1,w2,w1) 2) Nehme w2 aus Kern(A+E)^3 / [v1,v2,v3]. -> w1 = (A+E)w2 -> T = (v3,v2,v1,w1,w2) Aber beides klappt nicht so ganz... die Jordanform hat am Ende zwar -1 auf der Diagonalen, ist aber keine obere Dreiecksmatrix wie sie eben aussehen sollte. Wie sucht man sich die letzten beiden? |
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| 25.09.2016, 20:40 | thx2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
w1 aus dem Kern(A+E)^2 (A+E)*w1=w2 T=(v3,v2,v1,w2,w1) |
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| 25.09.2016, 22:56 | Däncel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke dir hab jetzt ein gutes Ergebnis. Guter Mann!
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