Zyklische Gruppen und p-Gruppen |
| 19.09.2016, 18:27 | Juls004 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Zyklische Gruppen und p-Gruppen Welche n<=100 haben die Eigenschaft: Alle Gruppen der Ordnung n sind zyklisch? Meine Ideen: Zunächst gilt das ja für alle n=prim. Außerdem gilt für alle Gruppen G der Ordnung p^2 mit p Primzahl, dass G abelsch ist und daraus folgt ja zyklisch. Was ich sonst noch weiß ist, dass wenn (G/Z(G)) zyklisch ist, dann ist G abelsch und somit ebenfalls zyklisch. Allerdings weiß ich nicht wie ich herausfinde, ob es noch andere n gibt, die diese Eigenschaft erfüllen? |
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| 19.09.2016, 18:30 | tatmas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo,
Nein tut es nicht. |
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| 19.09.2016, 18:49 | ermanus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Z.B. ist die Kleinsche Vierergruppe eine abelsche 2-Gruppe, in der alle Elemente (außer e) die Ordnung 2 haben. |
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| 19.09.2016, 22:51 | Juls004 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok stimmt. Danke. Die Implikation aus zyklisch folgt abelsch stimmt aber oder? Gibt es denn neben den Primzahlen noch andere n, die diese Eigenschaft erfüllen? |
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| 20.09.2016, 11:25 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, zyklische Gruppen sind abelsch. Ja, die Gruppe der Ordnung 1 ist zyklisch, 1 ist keine Primzahl. Hier kannst Du noch etwas mehr über Gruppen lernen: http://www.mathematik.tu-dortmund.de/~al...ebra_kap2_7.pdf |
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| 20.09.2016, 13:36 | ermanus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jede Gruppe der Ordnung 15 ist zyklisch, aber 15=3*5, also keine Primzahl. |
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| 20.09.2016, 18:36 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stimmt, das sagt auch der Satz 2.7.4 aus dem von mir genannten Skript. |
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