Vektoranalysis, Gradient, Grundlagen

19.09.2016, 21:14

Pauline21

Vektoranalysis, Gradient, Grundlagen

Meine Frage:
Ich wünsche einen guten Abend,

ich habe Probleme beim Lösen einer Aufgabe. Der Orginallaut der Aufgabe ist:

(a) Geben Sie für folgende Funktionsvorschriften

$\begin{eqnarray*} (1+1)d: f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (2+1)d: f(x,y) = x^2 + y^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (3+1)d: f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 \end{eqnarray*}$

i) Definitionsmenge und Zielmenge sinnvoll gewählt an,
ii) die Richtung maximaler Änderung der Funktionswerte an,
iii) die Richtung keiner Änderung der Funktionswerte und zeichnen Sie die Richtungen jeweils in eine Graphik.

Bei b) soll ich für $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ in der (x,y)-Ebene einen Vektor angeben, der senkrecht auf der Kurve steht. Überprüfen Sie durch eine Zeichnung.
Hinweis: Setzen Sie dazu $\begin{eqnarray*} y = f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ und betrachten Sie nun $\begin{eqnarray*} g(x,y) = y - x^2 = const. \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Vorweg ein Wort zur Notation. Es meint wohl:

$\begin{eqnarray*} (1+1)d: f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ anders formuliert: $\begin{eqnarray*} \mathbb R \rightarrow \mathbb R: f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (2+1)d: f(x,y) = x^2 + y^2 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R: f(x,y) = x^2 + y^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (3+1)d: f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R: f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 \end{eqnarray*}$

Die Definitionsmengen und Zielmengen habe ich soweit bestimmt:

$\begin{eqnarray*} D_1 = \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z_1 = \lbrace f \in \mathbb R| f \geq 0 \rbrace \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D_2 = \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z_2 = \lbrace f \in \mathbb R| f \geq 0 \rbrace \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D_3 = \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z_3 = \lbrace f \in \mathbb R| f \geq 0 \rbrace \end{eqnarray*}$

Die maximale Änderung, wäre im mehrdimensionalen doch einfach der Gradient, der senkrecht auf den Höhenlinien steht und lokal an gegebener Stelle in Richtung des stärksten Anstiegs zeigt. Im Eindimensionalen ist es doch die Ableitung, die maximale Änderung.

Das zu bestimmen, indem ich die partiellen Ableitungen bzw. die Ableitung bilde ist machbar.

Ein wenig problematisch wird es, wenn ich es zeichnen soll und die Richtung keiner Änderung der Funktionswerte angeben soll?
Keine Änderung ist doch dann wenn der Differenzenquotient bzw. die Ableitung Null ist?

Wie soll ich das jedoch visualisieren? Dürfte ich da jemanden um Rat bitten?

Bei der b) habe ich bisschen mehr Probleme. Also Vektoren sind senkrecht zueinander wenn ihr Skalarprodukt Null ist. Man könnte aber jetzt auch über den Gradienten gehen, der ja senkrecht auf den Höhenlinien steht. Da habe ich noch ein wenig Probleme. Ich weiß nicht ganz wie ich die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ als Vektor in der (x,y)-Ebene auffassen soll?

Recht herzlichen Dank schon mal ich hoffe und würde mich über eine Antwort freuen,

Grüße

Paula

26.09.2016, 23:38

Pauline21

Vektoranalysis, Gradient, Grundlagen

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