Bedingte Wahrscheinlichkeit trifft Division durch Null

20.09.2016, 01:33

Pippen

Bedingte Wahrscheinlichkeit trifft Division durch Null

Ok, ich verstehe, dass die Division durch Null undefiniert ist und sein muss. Was ich nicht verstehe ist, dass sie auch bei einer bedingten Wahrscheinlichkeit undefiniert sein muss. Wir erinnern uns: P(A|B) = P(A & B) / P(B) es sei denn P(B) = 0. Wenn aber P(B) = 0, wenn also B nie eintreten kann, dann kann logischerweise auch P(A|B), also A unter der Bedinung B nie eintreten. Man könnte also festlegen: Wenn P(B) = 0, dann P(A|B) = 0. Die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit wäre dann ausnahmslos definiert anstatt - wie heute - nur außerhalb der Division durch Null.

Warum tut man das nicht?

20.09.2016, 07:51

HAL 9000

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Weil es nicht "passt" ! Wie auch immer man $\begin{align*} P(A \mid B) \end{align*}$ im Fall $\begin{align*} P(B)=0 \end{align*}$ festlegt, es muss immer noch $\begin{align*} P(\cdot \mid B) \end{align*}$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß sein. Was z.B. speziell $\begin{align*} P(\Omega \mid B)=1 \end{align*}$ bedeutet, was bei deiner Festlegung schon mal nicht klappt. unglücklich

Es gibt also kein Dünnbrettbohren hier, man muss den beschwerlichen Gang durch die Maßtheorie (bedingte Erwartung, etc.) gehen.

20.09.2016, 19:05

Pippen

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Zitat:

Original von HAL 9000
Wie auch immer man $\begin{align*} P(A \mid B) \end{align*}$ im Fall $\begin{align*} P(B)=0 \end{align*}$ festlegt, es muss immer noch $\begin{align*} P(\cdot \mid B) \end{align*}$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß sein. Was z.B. speziell $\begin{align*} P(\Omega \mid B)=1 \end{align*}$ bedeutet, was bei deiner Festlegung schon mal nicht klappt. unglücklich

Ich will vorsichtshalber vorausschicken, dass ich kein Mathestudent bin. P(Omega|B) wäre natürlich auch 0, was dem 2. Kolmogorov-Axiom nicht widerspricht, nachdem P(Omega) = 1 sein muss. Daher sehe ich nicht, wo das nicht klappen soll.

20.09.2016, 19:19

HAL 9000

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Du fordert also von $\begin{align*} P(\cdot \mid B) \end{align*}$ NICHT, dass es ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist??? Entschuldige bitte, aber wieso soll man $\begin{align*} P(\cdot \mid B) \end{align*}$ dann überhaupt betrachten - aus reinem Selbstzweck? Finger1

20.09.2016, 19:41

Pippen

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Zitat:

Original von HAL 9000
Du fordert also von $\begin{align*} P(\cdot \mid B) \end{align*}$ NICHT, dass es ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist???

Doch, aber "P(B) = 0 -> P(A|B) = 0" (wobei A auch gleich Omega sein kann) scheint mir nicht gegen die Kolmogorov-Axiome zu verstoßen und die sind doch notwendig und hinreichend für ein W-Maß, oder?

20.09.2016, 19:45

HAL 9000

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Ich habe von $\begin{align*} P(\Omega \mid B)=1 \end{align*}$ geredet, und das gehört zu den Axiomen.

20.09.2016, 20:00

Pippen

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ich habe von $\begin{align*} P(\Omega \mid B)=1 \end{align*}$ geredet, und das gehört zu den Axiomen.

Hm, mE ist $\begin{align*} P(\Omega)=1 \end{align*}$ das (2.) Axiom und damit würde sich $\begin{align*} P(\Omega \mid B)=0 \end{align*}$ , falls $\begin{align*} P(B)=0 \end{align*}$ vertragen, oder?

20.09.2016, 20:04

HAL 9000

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Anscheinend verstehst die von mir verwendete Bezeichnung $\begin{align*} P(\cdot \mid B) \end{align*}$ nicht. Also nochmal mit anderen Bezeichnungen, die dir hoffentlich eher liegen:

Wir betrachten die Mengenfunktion $\begin{align*} P_B(A):=P(A \mid B) \end{align*}$ für festes $\begin{align*} B \end{align*}$ , hier speziell für ein $\begin{align*} B \end{align*}$ mit $\begin{align*} P(B)=0 \end{align*}$ . Aber auch da wird gefordert, dass $\begin{align*} P_B \end{align*}$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ ist, also muss speziell $\begin{align*} P_B(\Omega)=1 \end{align*}$ gelten.

20.09.2016, 20:29

Pippen

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Zitat:

Original von HAL 9000

Wir betrachten die Mengenfunktion $\begin{align*} P_B(A):=P(A \mid B) \end{align*}$ für festes $\begin{align*} B \end{align*}$ , hier speziell für ein $\begin{align*} B \end{align*}$ mit $\begin{align*} P(B)=0 \end{align*}$ . Aber auch da wird gefordert, dass $\begin{align*} P_B \end{align*}$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ ist, also muss speziell $\begin{align*} P_B(\Omega)=1 \end{align*}$ gelten.

Achso, danke. Woraus ergibt sich, dass P(Omega|B) für jedes beliebige B auch gleich 1 sein muss? Wir haben ja erstmal nur die 3 Kolmogorov Axiome und das 2. besagt ja erstmal nur, dass P(Omega) = 1. Wie kommt man von da zu P(Omega|B) = 1?

20.09.2016, 20:41

HAL 9000

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Halt dich doch nicht so krampfhaft (!!!) an dem Symbol $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ fest - das ist ja nicht zum Aushalten! böse

$\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ ist ein Wahrscheinlicheitsmaß, muss die Kolmogorov-Axiome erfüllen, Ok.
Aber - zum WIEDERHOLTEN MALE - auch $\begin{eqnarray*} P_B \end{eqnarray*}$ ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß, muß also ebenfalls diese Axiome erfüllen.

20.09.2016, 22:58

Pippen

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Du müsstest zeigen, dass P(Omega|B) = P(Omega) = 1. Per Axiom ist P(Omega) = 1, aber wieso soll auch immer P(Omega|B) = 1 sein? MaW: Ich verstehe nicht, warum es ein Widerspruch sein soll, wenn P(Omega) = 1 und P(Omega|B) = 0, falls B ein unmögliches Ereignis sei.

20.09.2016, 23:03

HAL 9000

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Ich geb's auf. Dann nimm eben dein Nullmaß (denn das ist es nach deiner Definition) als Wahrscheinlichkeitsmaß und werde glücklich. Finger1

20.09.2016, 23:30

Pippen

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Ich frage ja, weil ich's selbst nicht weiß und vor allem und genau wissen will, warum meine Idee nicht funktioniert. verwirrt

Du sagst P(Omega|B) kann nicht 0 sein und damit würde meine Ausgangsidee nicht mehr klappen. Aber das müsste man schon beweisen können, denn Ausgangspunkt ist das Axiom P(Omega) = 1, doch P(Omega|B) wäre was anderes. Denn wenn ich dein Argument richtig verstehe, dann sagst du: P(Omega) = P(Omega|B) = 1 und damit kann P(Omega|B) nicht Null sein. Aber wie genau kommst du darauf, dass P(Omega) = P(Omega|B)?

21.09.2016, 07:34

HAL 9000

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Zwischen der Fachwelt und dir gibt es wohl fundamental verschiedene Ansichten, was eine bedingte Wahrscheinlichkeit $\begin{align*} P_B \end{align*}$ leisten muss:

Für Ereignisse $\begin{align*} B \end{align*}$ mit $\begin{align*} P(B)>0 \end{align*}$ liefert die Definition $\begin{align*} P_B(A)=P(A \mid B):=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \end{align*}$ eine Mengenfunktion, die die Kolmogorowschen Axiome erfüllt, als da wären

1) $\begin{align*} 0\leq P_B(A)\leq 1 \end{align*}$ für alle Ereignisse $\begin{align*} A \end{align*}$

2) $\begin{align*} P_B(\Omega) = 1 \end{align*}$ .

3) $\begin{align*} P_B\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right) = \sum_{n=1}^{\infty} P_B\left( A_n\right) \end{align*}$ für jede abzählbare Folge $\begin{align*} \left( A_n\right)_{n=1,2,\ldots} \end{align*}$ paarweise disjunkter Ereignisse.

Mit anderen Worten: $\begin{align*} P_B \end{align*}$ ist ebenfalls ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ .

Eine Erweiterung des Begriffes bedingte Wahrscheinlichkeit $\begin{align*} P_B \end{align*}$ auch auf Ereignisse $\begin{align*} B \end{align*}$ mit $\begin{align*} P(B)=0 \end{align*}$ sollte (so der Wunsch) auch diese Eigenschaft eines Wahrscheinlichkeitsmaßes aufweisen - und genau das ist auch der Fall über die allgemeine maßtheoretisch basierte Definition (bedingte Erwartung, Radon-Nikodym-Ableitung, etc.). Damit z.B. auch folgendes klappt:

Nehmen wir als Ereignis $\begin{align*} B \end{align*}$ mal speziell das Ereignis, dass eine stetige Zufallsgröße einen bestimmten Wert annimmt, also $\begin{align*} B=\left[X=x_0\right] \end{align*}$ . Dann muss gemäß allgemeiner Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit z.B. folgendes gelten:

$\begin{align*} P\left(A\cap \left[a\leq X\leq b\right]\right) = \int\limits_a^b P(A \mid X=x) ~ \dd F_X(x) = \int\limits_a^b P(A \mid X=x) f_X(x) ~ \dd x \end{align*}$

mit Verteilungsfunktion $\begin{align*} F_X \end{align*}$ bzw. Verteilungsdichte $\begin{align*} f_X \end{align*}$ der Zufallsgröße $\begin{align*} X \end{align*}$ . Insbesondere für $\begin{align*} A=\Omega \end{align*}$ bedeutet das

$\begin{align*} P\left(a\leq X\leq b\right) = \int\limits_a^b P(\Omega \mid X=x) f_X(x) ~ \dd x \end{align*}$ .

Nach deiner Lesart $\begin{align*} P(\Omega \mid X=x)=0 \end{align*}$ kommt dann $\begin{align*} P\left(a\leq X\leq b\right)=0 \end{align*}$ raus für alle $\begin{align*} a,b \end{align*}$ , was natürlich himmelschreiender Unsinn ist.

D.h.: Du machst jetzt mal deine Hausaufgaben und schaust dir an, wie im Fall $\begin{align*} P(B)=0 \end{align*}$ verfahren wird:

https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingter_...male_Definition

statt ständig deinen Unfug zu wiederholen.

21.09.2016, 17:08

Pippen

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Zitat:

Original von HAL 9000
Für Ereignisse $\begin{align*} B \end{align*}$ mit $\begin{align*} P(B)>0 \end{align*}$ liefert die Definition $\begin{align*} P_B(A)=P(A \mid B):=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \end{align*}$ eine Mengenfunktion, die die Kolmogorowschen Axiome erfüllt, als da wären

...

2) $\begin{align*} P_B(\Omega) = 1 \end{align*}$ .

...

Ich verstehe, dass du für A die Menge Omega einsetzen kannst, aber ich verstehe nicht, wie man von P(Omega) = 1 (Kolmogorov's Axiom Nr. 2) zu P(Omega|B) = 1 kommt.

Evtl. (und wahrscheinlich) verstehe ich einfach zu wenig von der Wahrscheinlichkeitstheorie. Ich habe mir folgende Lösung überlegt, vllt, kannst du ja mal schauen, ob man das so machen könnte:

Sei P(B) = 0 und dadurch auch P(A|B) = 0 (meine Annahme). Es muss nun für P(A|B) ein sicheres Ereignis geben, d.h. für einen Fall muss für beliebige A und B gelten P(A|B) = 1. Das fortdert das 2. Axiom von Kolmogorov. Doch dem widerspricht meine Lösung, nach der P(A|B) im Fall der leeren Menge B (= P(B) = 0) nie Eins sein kann. Also ist die Annahme falsch.

21.09.2016, 17:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von Pippen
Ich verstehe, dass du für A die Menge Omega einsetzen kannst, aber ich verstehe nicht, wie man von P(Omega) = 1 (Kolmogorov's Axiom Nr. 2) zu P(Omega|B) = 1 kommt.

Na wenigstens im vorgestellten Fall $\begin{align*} P(B)>0 \end{align*}$ solltest du das können:

$\begin{align*} P_B(\Omega) = P(\Omega \mid B) = \frac{P(\Omega\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B)}{P(B)} = 1 \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Pippen
d.h. für einen Fall muss für beliebige A und B gelten P(A|B) = 1.

Unsinn - wie soll denn das für beliiebige A und B gelten??? Für $\begin{align*} A=\emptyset \end{align*}$ gilt z.B. immer $\begin{align*} P(\emptyset \mid B)=0 \end{align*}$ .

Irgendwie leben wir wohl auf verschiedenen Planeten - ich kann deinen wirren Gedanken nicht folgen.

22.09.2016, 00:29

Pippen

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Ich glaube, ich hab's jetzt verstanden. Entscheidend ist, dass P(Omega|B) = 1 per Axiom. Wenn man immer nur liest, dass P(Omega) = 1 und dann die Bsp. wie beim Münzwurf Omega := {Kopf, Zahl}, dann wirkt die Bedingtheit im Zusammenhang mit Omega irgendwie "verdächtig". Aber ok, warum nicht einen Ereignisraum haben, dessen Ereignisse alle unter der Bedingung von B stehen, und damit auch das sichere Ereignis Omega.

23.09.2016, 02:20

Pippen

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Neue Idee: Mein Vorschlag, dass wenn P(B) = 0, dann P(A|B) = 0 scheitert ja am 2. Axiom von Kolmogorov. Was passiert eigentlich, wenn man das einfach weglässt und quasi ein Axiomensystem ohne Kolmogorov Nr. 2 anwendet? Klar, einiges wird nicht mehr so leicht beweisbar, das System wäre schwächer, zB die Gegenereigniswahrscheinlichkeit wäre nicht mehr einfach 1-p und selbst die leere Menge wäre nicht mehr per se Null-Wahrscheinlichkeit, aber so richtig zerbröckeln würde nichts, oder? Mit diesem "aufgebohrten" System könnte man o.g. Problem entscheiden. Ich finde halt die Idee, dass wenn die Bedingung B nicht eintreten kann, dann auch A unter der Bedingung B nie eintreten kann, irgendwie höchst logisch und plausibel.

Was meint ihr?

23.09.2016, 07:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von Pippen
Neue Idee:

Dieselbe alte Idee von oben, und genauso absurd wie bisher. unglücklich

Offenkundig hast du noch nie was von stetigen (z.B. normalverteilten) Zufallsgrößen $\begin{align*} X \end{align*}$ gehört. Für die gilt $\begin{align*} P(X=t)=0 \end{align*}$ für alle reellen Zahlen $\begin{align*} t \end{align*}$ , in der Gesamtheit aber $\begin{align*} P(X\in\mathbb{R}) = P\left( \bigcup_{t\in\mathbb{R}} [X=t] \right) = 1 \end{align*}$ . D.h., $\begin{align*} P(X=t)=0 \end{align*}$ bedeutet nicht, dass das Ereignis $\begin{align*} [X=t] \end{align*}$ nicht eintreten kann, denn irgendeinen reellen Wert $\begin{align*} t \end{align*}$ nimmt $\begin{align*} X \end{align*}$ immer an!!! Das alles ist in Verbindung mit dem Beispiel zu sehen, welches ich oben 21.09.16, 7:34 angeführt hatte, und was du komplett ignoriert hattest.

Letzter Vorschlag:

1) Du beschränkst dich in deinen Betrachtungen auf endliche oder abzählbare Wahrscheinlichkeitsräume $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ . Dort kannst du lustig mit deinen "Ideen" operieren: Nicht, dass sie dort nützlich wären, aber sie schaden auch nichts, da es dort keinerlei sinnvolle Anwendungsmöglichkeiten für $\begin{align*} P(A \mid B) \end{align*}$ im Fall $\begin{align*} P(B)=0 \end{align*}$ gibt.

2) Solltest du doch auch größere (d.h. überabzählbare) Wahrscheinlichkeitsräume $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ betrachten wollen, dann lass deinen Unsinn und belege lieber einen Kurs Maßtheorie, der dir hoffentlich die Flausen aus dem Kopf treibt.

23.09.2016, 23:43

Pippen

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Zitat:

Original von HAL 9000

Offenkundig hast du noch nie was von stetigen (z.B. normalverteilten) Zufallsgrößen $\begin{align*} X \end{align*}$ gehört. Für die gilt $\begin{align*} P(X=t)=0 \end{align*}$ für alle reellen Zahlen $\begin{align*} t \end{align*}$ , in der Gesamtheit aber $\begin{align*} P(X\in\mathbb{R}) = P\left( \bigcup_{t\in\mathbb{R}} [X=t] \right) = 1 \end{align*}$ . D.h., $\begin{align*} P(X=t)=0 \end{align*}$ bedeutet nicht, dass das Ereignis $\begin{align*} [X=t] \end{align*}$ nicht eintreten kann,

Doch, das bedeutet es, genau deshalb berechnet man nie P(X=t), sondern die Fläche unter der W-Funktion (wenn ich es richtig verstanden habe).

Ich frage mal anders: Wenn ich behaupte, dass P(A|B) = 0, wenn P(B) = 0 und dass nur ein Wahrscheinlichkeitsmaß von Kolmogorov's Axiomen 1 & 3 gelten soll, was wäre dann deine Replik? Wäre dann meine Behauptung immer noch widersprüchlich bzw. wäre das System selbst widersprüchlich oder "nur" trivialer?

Zitat:

2) Solltest du doch auch größere (d.h. überabzählbare) Wahrscheinlichkeitsräume $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ betrachten wollen, dann lass deinen Unsinn und belege lieber einen Kurs Maßtheorie, der dir hoffentlich die Flausen aus dem Kopf treibt.

Ich habe keine Flausen im Kopf, ich verstehe schlicht die Wahrscheinlichkeitstheorie nicht so richtig. Ich bin eben nur Laie mit Interesse für Hochschulmathematik^^.

23.09.2016, 23:54

HAL 9000

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Zitat:

Original von Pippen
und dass nur ein Wahrscheinlichkeitsmaß von Kolmogorov's Axiomen 1 & 3 gelten soll, was wäre dann deine Replik?

Damit ist es kein Wahrscheinlichkeitsmaß, sondern nur ein Maß, und zwar das Nullmaß (was ich ebenfalls schon weiter oben erwähnt hatte), welches hier zu nichts zu gebrauchen ist. Das ist eine vollkommen sinnfreie Diskussion, die du hier führst.

Zitat:

Original von Pippen
Ich habe keine Flausen im Kopf, ich verstehe schlicht die Wahrscheinlichkeitstheorie nicht so richtig. Ich bin eben nur Laie mit Interesse für Hochschulmathematik^^.

Dann ändere das, statt ständig wohldurchdacht eingeführte Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung durch Unfug zu ersetzen. Ich stelle auch jetzt meine Bemühungen ein, da du bisher keine Bereitschaft zeigst, dazuzulernen - ja, überhaupt mal über meine Einwürfe nachzudenken. Stattdessen nur trotziges Leugnen wie dieses unsägliche und vollständig unpassende

Zitat:

Original von Pippen
Doch, das bedeutet es

Erzähl den Quatsch jemand anderen - ich hab meine Zeit jetzt hier offenbar schon viel zu viel verschwendet. unglücklich

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