Teilraumtopologie und Metrik Notation

20.09.2016, 15:01	Dukkha	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilraumtopologie und Metrik Notation Hallo, Ich habe zwei Fragen. Die erste betrifft die Teilraumtopologie. Sei $\begin{eqnarray} Y\subset X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} O_i \end{eqnarray}$ die offenen Mengen von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . Dann nennt man ja die Mengen $\begin{eqnarray} U_i=Y\cap O_i \end{eqnarray}$ offen in $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ . Verstehe ich das richtig, dass diese Mengen $\begin{eqnarray} U_i \end{eqnarray}$ nicht unbedingt offen in $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ sein müssen? Weil $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ auch abgeschlossen in $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ sein könnte und wenn ich z. B. eine offene Menge nehme, die $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ vollständig beinhaltet, dann ist der Durschnitt ja wieder $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ und somit abgeschlossen? Meine zweite Frage ist bezüglich einer Notation. Sei $\begin{eqnarray} (X,d) \end{eqnarray}$ ein metrischer Raum. Was bedeutet dann die Metrik $\begin{eqnarray} d_Y:=d_{\vert Y\times Y} \end{eqnarray}$ ? Ist das die Metrik die wie folgt definiert ist: $\begin{eqnarray} d_Y=d(a,b)\times d(c,d) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} a,b,c,d\in Y \end{eqnarray}$ ? Oder $\begin{eqnarray} d_Y=d(a,b)\times d(a,b) \end{eqnarray}$ ?
20.09.2016, 16:02	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilraumtopologie und Metrik Notation Zu 1) Richtig, aber du meinst wenn $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ nicht offen ist. Das ist (bei Weitem!) nicht das gleiche wie abgeschlossen. Zu 2) Die Metrik $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ ist eine Abbildung $\begin{eqnarray} d: X \times X \to [0, \infty) \end{eqnarray}$ . Sie bekommt 2 Elemente in X als Argument und sagt dir wie weit weg sie sind. Die Abbildung $\begin{eqnarray} d_y: Y \times Y\ to [0,\infty) \end{eqnarray}$ ist einfach die Einschränkung auf Elemente, die zusätzlich in $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ liegen muessen.

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