Unabhängigkeit und Indexzufallsvariable

20.09.2016, 19:50	Dukkha	Auf diesen Beitrag antworten »
Unabhängigkeit und Indexzufallsvariable Hallo, Ich habe leider Mühe zu verstehen, wann Zufallsvariablen unabhängig sind. Konkret geht es um folgendes Beispiel: Seien $\begin{eqnarray} X,(X_k)_{k\in\mathbb{N}} \end{eqnarray}$ unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen. Ist dann die Zufallsvariable $\begin{eqnarray} N:=\inf\{k\in\mathbb{N}:X_k>X\} \end{eqnarray}$ abhängig von den $\begin{eqnarray} X_k \end{eqnarray}$ ? Aus dem Bauch heraus würde ich sagen ja. In der Formel von Wald sind jedoch die Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} T,(X_k)_{k\in\mathbb{N}} \end{eqnarray}$ unabhängig. Es gilt ja $\begin{eqnarray} \mathbb{E}[\sum\limits_{k=0}^T X_k]=\mathbb{E}[T]\mathbb{E}[X] \end{eqnarray}$ . Ist dass der Fall, weil das $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ nur die Anzahl bestimmt, aber nicht den Wert von $\begin{eqnarray} X_k \end{eqnarray}$ beeinflusst, beim ersten Beispiel aber beinflusst das $\begin{eqnarray} X_k \end{eqnarray}$ direkt den Wert von $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ ?
20.09.2016, 20:03	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst mal: Die k-Summe sollte bei 1 statt bei 0 beginnen - mit k beginnend bei 0 ist die Aussage falsch. Man kann es schlicht ausrechnen: Es ist gemäß Formel der totalen Wahrscheinlichkeit, und unter Ausnutzung der Unabhängigkeit von $\begin{align} T \end{align}$ und $\begin{align} X_k \end{align}$ $\begin{align} E\left[ \sum_{k=1}^T X_k \right] &= \sum_{n=0}^{\infty} E\left[ \sum_{k=1}^T X_k \biggm\| T=n \right]\cdot P(T=n) = \sum_{n=0}^{\infty} E\left[ \sum_{k=1}^n X_k \biggm\| T=n \right]\cdot P(T=n) = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=1}^n E\left[ X_k \bigm\| T=n \right]\cdot P(T=n)\\ &\stackrel{U}{=} \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=1}^n E\left[ X_k \right]\cdot P(T=n) = \sum_{n=0}^{\infty} nE\left[ X_1 \right]\cdot P(T=n) = E\left[ X_1 \right] \cdot \sum_{n=0}^{\infty} n\cdot P(T=n) = E\left[ X_1 \right] \cdot E[T] \end{align}$
20.09.2016, 20:40	Dukkha	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Hal9000, Vielen Dank für die Antwort. Wie steht es mit der ersten Aussage über $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ ? Ist $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ abhängig?
20.09.2016, 22:30	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, da ist eine Abhängigkeit wohl nicht zu leugnen.

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