Momentenschätzer, ML-Schätzer

22.09.2016, 17:06

StrunzMagi

Momentenschätzer, ML-Schätzer

Es seien $\begin{eqnarray*} X_1,..,X_n \end{eqnarray*}$ unabhängige Zufallsvariablen die identisch verteilt sind mit Dichte
$\begin{eqnarray*} f_{\theta} (x)= \frac{x}{2 \theta^2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0 \le x \le 2 \theta \end{eqnarray*}$ und 0 sonst.
Bestimmen den Momentenschätzer und den ML-Schätzer für den Parameter $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$

Hallo
Sei $\begin{eqnarray*} g_k (\theta)=m_k \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} m_k \end{eqnarray*}$ der kte Moment ist.
Ich berechne den ersten Moment(erwartungswert) der Verteilung aus:
$\begin{eqnarray*} E(X)= \int_0^{2 \theta} \frac{x^2}{2 \theta^2} dx= \frac{4}{3} \theta \end{eqnarray*}$
D.h. $\begin{eqnarray*} g_1 (\theta)= \frac{4}{3} \theta \end{eqnarray*}$
Daraus bekomme ich den Momentenschätzer: $\begin{eqnarray*} \hat{\theta}= \frac{3}{4*n}\sum_{i=1}^n X_i \end{eqnarray*}$

Die Maximum-Likely-Hood Funktion:
$\begin{eqnarray*} L_x (\theta)= \frac{x_1}{2 \theta^2} 1_{x_1 \in [0, 2\theta]} *..* \frac{x_n}{2 \theta^2} 1_{x_n \in [0, 2\theta]} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{x_1*..*x_n}{(2 \theta^2)^n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 1_{(0, 2\theta)} (\min_{i\in \{1,..n\}} x_i)* 1_{(0, 2\theta)} (\max_{i\in \{1,..n\}} x_i) \end{eqnarray*}$

Um das zu maximieren muss ich doch $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ möglichst klein wählen, so dachte ich an $\begin{eqnarray*} \hat{\theta}=\frac{max_{i \in \{1,..,n\}} x_i}{2} \end{eqnarray*}$
Stimmt das?

LG,
MaGi

22.09.2016, 19:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von StrunzMagi
Stimmt das?

Mal eine kurze Antwort von mir: Ja, beides richtig. Freude